1. Выражения в 5-6 классах

В начале курса учащиеся осваивают понятия числового выражения и значения выражения, потом буквенного выражения. При разборе решения простых двух-трех задач учащиеся замечают, что в выражениях для решения этих задач меняется число, стоящее на определенном месте выражения, и что эти задачи можно объединить в одну, заменив число, которое меняется, буквой. Этот подход позволяет не только ввести понятие буквенного выражения как выражения, содержащего буквы, но и содействует постепенной подготовке учащихся к выделению и осознанию программ вычислений и классификации задач по методам решения.

Виленкин Н.Я. 5 класс.

Числовые и буквенные выражения

При решении задач иногда только записывают действия, а выполняют их потом. Полученные записи называют числовыми выражениями.

Задача 1. Поезд шел двое суток. В первые сутки он прошел 980 км, а во вторые – на 50 км больше. Сколько километров прошел поезд за двое суток?

Решение. Во второй день поезд прошел 980 + 50 километров. Значит, за два дня он прошел 980 + (980 + 50) километров.

Для решения задачи мы составили числовое выражение

980 + (980 + 50).

Выполнив действия, получим число 2010 – значение этого выражения. Итак, за 2 дня поезд прошел 2010 км.

Число, получаемое в результате выполнения всех указанных действий в числовом выражении, называют значением этого выражения.

Задача 2. Поезд шел двое суток. В первые сутки он прошел 980 км, а во вторые – на 65 км больше. Сколько километров прошел поезд за двое суток?

Выражением для решения этой задачи будет 980 + (980 + 65).

Его значение равно 2025. За два дня поезд прошел 2025 км.

Задачи 1 и 2 отличаются лишь тем, что в задаче 2 число 50 заменено чис­лом 65.

Обозначим буквой т число, которое меняется от задачи к задаче. Получаем новую задачу.

Задача 3. Поезд шел двое суток. В первые сутки он прошел 980 км, а во вторые – на m км больше. Сколько километров прошел поезд за двое суток?

Выражением для решения этой задачи будет

980 + (980 + m).

Если вместо буквы m подставить число 50, то получится числовое выражение для решения первой задачи. Если же вместо той же буквы подставить число 65, то получится числовое выражение для решения второй задачи.

Выражение, содержащее буквы, называют буквенным выражением.

В этом выражении буквы могут обозначать различные числа.

Числа, которыми заменяют букву, называют значениями этой буквы.

Основные типы преобразований и этапы их изучения

Изучение различных преобразований выражений и формул за­нимает значительную часть учебного времени в курсе школьной математики. Простейшие преобразования, опирающиеся на свойст­ва арифметических операций, производятся уже в начальной шко­ле и в 5-6 классах. Но основную нагрузку по формированию умений и навыков выполнения преобразований несет на себе курс школьной алгебры. Это связано как с резким увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнени­ем деятельности по их обоснованию и выяснению условий приме­нимости, с выделением и изучением обобщенных понятий тождест­ва, тождественного преобразования, равносильного преобразова­ния, логического следования.

Можно выделить следующие этапы освоения применений пре­образований буквенно-числовых выражений и формул.

Начала алгебры. На этом этапе используется нерасчлененная система преобразований; она представлена правилами выполнения действий над одной или обеими частями формулы. Приведем ти­пичный пример. .

Пример. Решить уравнения:

Общая идея решения состоит в упрощении данных формул с помощью нескольких правил. В первом задании упрощение дости­гается при помощи применения тождества (распределительного закона): Основанное на этом тождестве тож­дественное преобразование переводит данное уравнение в равно­сильное ему уравнение 2х = 2. Второе уравнение требует для своего решения не только тождественного, но и равносильного преобра­зования; в таком качестве здесь используется правило переноса членов уравнения из одной части уравнения в другую с изменением знака. Мы видим, что уже в решении такого простого задания используются оба типа преобразований – и тождественное и равно­сильное. Это положение сохраняется, конечно, и для более громозд­ких заданий, таких, как третье.

Цель этого этапа – достичь беглости в выполнении заданий на решение простейших уравнений, упрощение формул, задающих функции, в рациональном проведении вычислений с опорой на свойства действии.

Формирование навыков применения конкретных видов преобра­зований. Система приемов и правил проведения преобразований, используемая на этапе начал алгебры, имеет очень широкую область приложений: она используется в изучении всего курса математики. Однако именно в силу своей малой специфичности эта система нуждается в дополнительных преобразованиях, учитывающих осо­бенности структуры преобразуемых выражений и свойства вновь вводимых операций и функций. Освоение соответствующих видов преобразований начинается с введения формул сокращенного умно­жения. Затем рассматриваются преобразования, связанные с опера­цией возведения в степень, с различными классами элементарных функций – показательных, степенных, логарифмических, тригоно­метрических. Каждый из этих типов преобразований проходит этап изучения, на котором внимание сосредоточивается на усвое­нии их характерных особенностей.

По мере накопления материала появляется возможность выде­лить и общие черты всех рассматриваемых преобразований и на этой основе ввести понятия тождественного и равносильного пре­образований.

Следует обратить внимание на то, что понятие тождествен­ного преобразования дается в школьном курсе алгебры не в пол­ной общности, а только в при­менении к выражениям. Преобразования разделяются на два клас­са: тождественные преобразования – это преобразования выраже­ний, а равносильные – преобразования формул. В случае, когда возникает потребность в упрощении одной части формулы, в этой формуле выделяется выражение, которое и служит аргументом применяемого тождественного преобразования. Соответствующий предикат при этом считается неизменным. Например, уравнения считаются не просто равносильными, а одинако­выми.

Организация целостной системы преобразований (синтез). Основная цель этого этапа, как было отмечено, состоит в фор­мировании гибкого и мощного аппарата, пригодного для использо­вания в решении разнообразных учебных заданий.

Развертывание второго этапа изучения преобразований про­исходит на протяжении всего курса алгебры неполной средней школы. Переход к третьему этапу осуществляется при итоговом повторении курса в ходе осмысления уже известного материала, усвоенного по частям, по отдельным типам преобразований.