29.Фильтр низких частот с характеристикой Баттерворта.

Частотная зависимость рабочего затухания такого фильтра выражается формулой:

a_раб=10lg(1+ω²ⁿ)

n – целое положительное число, которое называется порядком характеристики рабочего затухания или порядком фильтра. Порядок фильтра численно совпадает с количеством реактивных элементов в его схеме.

В рассмотренном нами примере, мы имеем фильтр Баттерворта второго порядка (n=2) и количество элементов так же равно 2.

Характеристика Баттерворта названа по имени инженера-электрика, предложившего и исследовавшего её в начале 30-х годов.

Она обладает следующими свойствами:

1. При нулевой частоте рабочее затухание фильтра равно нулю, а по мере увеличения частоты оно монотонно возрастает.

2. При круговой частоте ω=1рад/с (что соответствует границе рабочего полосы пропускания) независимо от численного значения n выражение в скобках под знаком lg равно двум, а величина рабочего затухания составляет 3дБ.

3. Влияние численного значения n на характер частотной зависимости рабочего затухания отражается на графике, который построен для n=2 и n=6:

График свидетельствует, что по мере увеличения порядка n растет крутизна рабочего затухания в окрестности точки с абсциссой ω=1рад/с.

Чем больше величина n, тем больше рабочее затухание фильтра при любой заданной частоте в полосе задерживания (ω>1), и тем меньше рабочее затухание при любой заданной частоте в полосе пропускания (ω<1).

4. Наименьшую крутизну характеристика затухания имеет при самых низких частотах. По это причине фильтр Баттерворта называют так же фильтром с максимально плоской (в окрестности нулевой частоты) характеристикой.

30.Фильтр низких частот с характеристикой Чебышева.

В отличие от фильтра Баттерворта фильтр Чебышева в полосе пропускания (0≤ω≤1) график рабочего затухания имеет не монотонный, а колебательный характер, причем размах (амплитуда) колебаний на всем протяжение полосы пропускания остаются одинаковыми. По этой причине характеристику Чебышева называют равномерно-колебательной в полосе пропускания.

За пределами полосы пропускания рабочее затухание фильтра с характеристикой Чебышева монотонно возрастает по мере уве­личения частоты.

Формула частотной зависимости рабочего затухания фильтра с характеристикой Чебышева имеет вид

где ε - некоторая постоянная величина, как правило, не превыша­ющая единицы; T_n(ω) – так называемый полином (многочлен) Чебышева (назван по имени великого русского математика II. Л. Чебышева, который создал теорию таких полиномов); ω - независимая переменная или аргумент полинома (в нашем случае круговая частота), а индекс п обозначает порядок полинома. Порядок п численно равен высшей степени переменной ω в составе полинома и количеству реактивных элементов в схеме фильтра.

Полиномы Чебышева нулевого, первого и второго порядков соответственно имеют вид: T₀(ω) = 1; T₁(ω) = ω; T₂(ω) = 2ω²-1. Полиномы более высоких порядков можно найти с помощью фор­мулы T_n+1(ω) = 2ωT_n(ω) – T_n-1(ω).

Например, T₃(ω) = 2ωT₂(ω) – T₁(ω)=2ω(2ω²-1)-ω=4ω³-3ω.

Графики полиномов Чебышева первого, второго и третьего порядков для интервала -1≤ω≤1 приведены ниже:

Легко заметить, что при изменении круговой частоты ω от 0 до 1 численное значение квадрата полинома Чебышева будет изменяться в пределах от 0 до 1, оставаясь все время положительной величиной. Максимальное значение выражения под знаком логарифма в полосе пропускания будет (1+ε²), а максимальная величина рабочего затухания в полосе пропускания соответственно равна:

a_{р макс} = ∆ a_р = 10lg(1+ε²).

Таким образом, от численного значения ε зависит величина не­равномерности рабочего затухания фильтра в полосе пропускания. При уменьшении величины ε неравномерность рабочего затухания фильтра в полосе пропускания уменьшается, т. е. характеристика фильтра становится лучше. Но улучшение характеристики дости­гается не даром: уменьшение ε при заданном п приводит также к уменьшению рабочего затуха­ния фильтра в полосе задерживания [при ω>1 функция T²_n(ω) по мере увеличения частоты быстро возрастает и затухание фильтра практически определяется величиной выражения ε²T²_n (ω)].

От численного значения порядка характеристики п зависит ко­личество «всплесков» (максимумов) характеристики затухания в полосе пропускания, а также величина затухания в полосе задер­живании. Чем больше порядок п при заданных ε и ω, тем больше рабочее затухание фильтра в полосе задерживания. Влияние по­рядка п на характеристику затухания поясняется в рисунке выше.