Прямолинейное движение

Движение при котором траекторией является прямая линия, называется прямолинейным. Траектория может совпадать с одной из координатных осей (но может быть направлена и произвольно). Оси координат считаются независимыми в том смысле, что движение вдоль оси Х не приводит к перемещению вдоль оси У. Положение точки М характеризуется либо радиус- вектором , либо координатами X_м, Y_м, Z_м.

, где , , – единичные векторы вдоль осей X, Y, Z.

Скорость по определению:

, ,

.

Пройденный путь , либо , ,

Средняя скорость обычно , однако возможно и иное определение

Ускорение материальной точки определяется как , т.е. , , ; .

. Как и в случае скорости можно ввести углы между осями координат и направлением . Зная ускорение можно вычислить скорость:

, , и соответственно , иногда удобно использовать графическое представление движения. Например, на графике в координатах :

площадь под графиком равна пройденному пути.

На графике в координатах :

площадь под графиком равна скорости.

Кинематика вращательного движения

При вращательном движении точка описывает окружность вокруг неподвижной оси. Такое движение удобно описывать, используя угловые переменные: радиус вращения, угол поворота, угловую скорость и угловое ускорение. Если точка при вращательном движении перешла из положения I во II, то скорость изменила свое направление, а радиус повернулся на угол . Пройденный путь равен , где измеряется в радианах.

, где (рад/с).

, где T – период, а – частота вращения. Угловую скорость принудительно можно сделать вектором, направив по оси вращения, либо в соответствии с левым, либо в соответствии с правым буравчиком. Такие вектора в отличие от (полярных) называют аксиальными , если определяется по правилу правого буравчика (направление совпадает с движением правого буравчика, если его ручка вращается вместе с движущейся точкой).

Угловое ускорение (рад/с²). При вращательном движении изменение линейной скорости характеризуют два ускорения (нормальное, центростремительное) и (касательное, тангенциальное). характеризует изменение скорости по направлению, а – по модулю. Количественно результат получим, если представим скорость в виде:

– единичный вектор в направлении скорости частицы (т.е. по касательной к траектории).

;

- модуль касательной составляющей ускорения, показывающей как скорость меняется по модулю.

- модуль нормальной составляющей ускорения, показывающий как скорость меняется по направлению.

, можно доказать, что и мы получаем:

, .

Угловую скорость и угол поворота в общем случае находят интегрированием: , .

При этом считается, что направление оси вращения остается постоянным.

Относительность движения. Сложение скоростей и ускорений

Одно и то же движение в разных системах отсчета выглядит по-разному. Сложное движение иногда можно разбить на два простых, что облегчает анализ. Фактически это означает, что мы вводим две системы координат – неподвижную и подвижную, которая совершает одно простое движение.

. Скорость в неподвижной системе координат , скорость в подвижной системе координат – относительная скорость. Скорость подвижной системы координат – переносная ;

Для ускорения, если подвижная система координат вращается, результат – сложение:

– ускорение начала подвижной системы координат;

– угловая скорость подвижной системы координат.

Последнее слагаемое называют Кориолисовым ускорением.

В качестве примера сложного движения рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Считаем начальную скорость и угол бросания известными. Вычислим траекторию, время полета, максимальную высоту и дальность полета.

Разбиваем сложное движение на два простых – равномерное вдоль оси 0X и равнопеременное вдоль оси 0Y.

Определим траекторию движения связав X и Y:

, , то есть траектория – парабола, у которой ветви направлены против оси 0Y, а вершина смещена в I четверть. Время достижения верхней точки t, определяется условием:

Полное время полета равно 2t₁ (время подъема и падения одинаково, если нет сопротивления).

Максимальная дальность:

, то есть при фиксированной скорости дальность полета максимальна при α=45⁰

Правила сложения скоростей рассмотрим на примере колеса, равномерно движущегося по дороге

Каждая точка колеса участвует в двух движениях, она движется вместе с подвижной системой, и вращается вокруг точки

В неподвижной системе координат скорости точки А (относительно Земли) равна 0.

Скорость точки B:

Скорость точек D и С по модулю одинаковы (но отличаются по направлению).

;

Можно считать, что в данный момент времени колесо вращается вокруг точки А.