Принцип относительности Галилея

Принцип относительности Галилея утверждает, что никакими механическими опытами невозможно определить покоится система или движется прямолинейно и равномерно. Иными словами, если известна одна инерциальная система отсчёта, то любая система, движущаяся относительно инерциальной равномерно и прямолинейно также является инерциальной и в ней выполняется II закон Ньютона. Убедимся в этом. Пусть X,0,Y - неподвижная система отсчёта, а X',0',Y' движется относительно X,0,Y со скоростью |υ₀| =const вдоль оси X. Правила перехода от координат одной системы к координатам другой называются – преобразования Галилея. Очевидно, что проекция точки µ на X и X'

В классической механике предполагается, что , отсюда , и

Поскольку масса и сила от системы отчёта не зависят, то и выполняется в обеих системах отсчёта.

Неинерциальные системы отсчёта

Если система движется относительно инерциальной с ускорением, то это неинерциальная система и в ней II закон Ньютона можно записать, используя правила сложения ускорений:

В инерциальной

В неинерциальной

Вводя понятие силы инерции для поступательного движения и силы Кориолиса для вращательного движения мы можем применять II закон Ньютона и в неинерциальной системе отсчёта. Однако при этом следует помнить, что и выражают не взаимодействие тел, а ускорение подвижной системы координат, поэтому их иногда называют фиктивными силами.

Систему отсчёта, связанную с поверхностью Земли можно приближенно считать инерциальной, однако из-за вращения проявляются силы инерции. В частности силы Кориолиса вызывают подмывание правого берега рек в северном полушарии и левого в южном.

Теорема о движении центра масс

В реальных условиях не всегда тело (систему точек) можно заменить одной точкой. Поэтому рассмотрим движение системы точек. Запишем для каждой точки II закон Ньютона, разделив силы на внешние и внутренние. Внешние отражают взаимодействие с телами, не включенными в систему, внутренние описывают взаимодействие точек системы между собой

Просуммируем уравнения учитывая, что согласно III закон Ньютона сумма внутренних сил равна нулю. Получаем,

, где - полный импульс системы, а - равнодействующая внешних сил.

то, есть изменения импульса системы равно суммарному импульсу внешних сил.

Используя определение центра масс, получаем ; обозначим и тогда , следовательно . Центр масс движется как одна точка с массой M под воздействием силы . Это означает, что в отсутствии вращения тела можно заменить одной точкой – центром масс.

Закон сохранения импульса. Реактивное движение

Если сумма внешних сил равна нулю или такие силы отсутствуют, то и импульс системы сохраняется. Впрочем, импульс системы может сохраняться, если внешние силы неуравновешаны, но время действия сил чрезвычайно мало – удар или взрыв.

В земных условиях из-за действия силы тяжести может не сохраняться вертикальная проекция импульса системы, но сохраняется горизонтальная. Обычно закон сохранения импульса записывается для системы состоящей из 2-х тел и имеет вид , где и скорости тел в разные моменты времени, либо в виде проекции на ось 0X

Этот закон является проявлением теоремы Э. Нётер: каждой симметрии отвечает свой закон сохранения. Импульс сохраняется из-за того, что законы механики симметричны относительно сдвига в пространстве. Из закона сохранения импульса можно получить законы реактивного движения – движения тела переменной массы. Когда m=const, то II закон Ньютона можно записывать и в виде и в виде , однако, если m ≠ const, то необходимо введение особой реактивной силы. Считая, что система движется в отсутствии внешних сил, можно считать, что

где m – масса тела, | dm | - модуль отделившейся массы, υ – скорость тела, u – скорость (относительная) отделения вещества.

Раскрывая скобки и пренебрегая величинами второго порядка малости (dm·dυ), получаем ; .

Отсюда то есть изменение массы движущегося тела (точки) приводит к появлению реактивной силы , где μ – секундный расход топлива, если речь идёт о ракете.

В общем виде при наличии нескольких сил, получаем уравнение Мещерского для движения точки переменной массы .

Этот закон применим для описания движения ракеты, реактивного самолёта, падения снежинки, движения судна с водомётным двигателем. Масса может, как уменьшаться, так и возрастать за счёт захвата воды или воздуха. Возникающие силы могут, как ускорять, так и замедлять движение. Например, движение самолёта с воздушным реактивным двигателем (ВРД) описывается при горизонтальном полёте уравнением , где μ₁ – масса сгоревшего топлива (<0);

μ₂ – масса захваченного воздуха; m – масса самолёта; υ – скорость самолёта; u – скорость истечения газов, μ₁ < 0, μ₂ >0.

Рассмотрим в качестве примера реактивного движения две задачи Циолковского.

I.) Считая, что u ≈ 4 км/с, определить во сколько раз начальная масса ракеты должна быть больше конечной, чтобы ракета достигла скорости 8 км/с. полагаем, что F=0).

; ;

т. е. масса полезного груза почти в 10 раз меньше массы топлива.

Для достижения II космической скорости , т.е. одноступенчатая ракета для полёта в космос явно не подходит.

II.) Вычислить высоту и скорость ракеты движущейся вертикально в поле силы тяжести Земли

; считая получаем

, то есть высота подъёма зависит от закона сгорания топлива.

Анализируя полученные результаты Циолковский, обратил внимание на преимущества многоступенчатых ракет перед одноступенчатыми.