Основное уравнение динамики вращения

Если тело (система) совершает вращательное движение, то вместо II закона Ньютона удобнее использовать следствие из этого закона - основное уравнение динамики вращения. Для получения этого уравнения запишем систему уравнений, характеризующих движение отдельных точек, и домножим каждое уравнение векторно на соответствующий радиус-вектор :

где индексы <i> и <e> соответствуют внутренним и внешним силам соответственно.

Учитывая, что и вводя обозначения - момент импульса точки и - момент силы, получаем систему уравнений типа: .

Суммируя по всем точкам, получаем основное уравнение динамики вращения

, где

– суммарный момент импульса системы,

– суммарный момент внешних сил.

Суммарный момент внутренних сил в соответствии с III законом Ньютона обращается в ноль.

Момент силы по модулю равен произведению силы на плечо.

Плечо – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

, так как силы вращают тело в противоположных направлениях.

Таким образом, мы получили, что скорость изменения момента импульса системы равна моменту внешних сил.

Момент инерции. Теорема Штейнера

Момент импульса можно для вращающейся точки записать в виде , где – радиус вращения, а – угловая скорость.

Для твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси , где – момент инерции тела.

Основное уравнение динамики вращения для твёрдого тела принимает вид или , = .

Просматривается явная аналогия со II законом Ньютона:

момент инерции I ⇄ m – масса

угловое ускорение β ⇄ a_τ – тангенциальное ускорение

момент силы М^(e) ⇄ F

В справочных таблицах величина момента инерции I обычно указывается по отношению к оси, проходящей через центр масс. Если ось смещена относительно центра масс, то момент инерции вычисляется по теореме Штейнера:

,

где I₀ – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс;

I_С – момент инерции относительно оси, сдвинутой на расстояние d (параллельно самой себя.)

Примеры вычисления момента инерции для простейших твердых тел.

1. Для кольца

2. Для диска результат получим, разбивая его на отдельные

кольца и интегрируя по r

3. Для стержня длиной ℓ аналогично

.

4. Для стержня длиной ℓ момент инерции относительно

одного из концов .

Закон сохранения момента импульса. Гироскопический эффект

Из основного уравнения динамики вращения имеем при закон сохранения момента импульса. При отсутствии момента внешних сил , или . Учитывая, что , момент импульса сохраняется в 3-х случаях:

1.

2.

3.

Следствиями закона сохранения момента импульса являются I и II закона Кеплера.

I закон утверждает, что в гравитационном поле орбита планет плоская, так как плоскость орбиты перпендикулярна вектору .

II закон утверждает, что секторная скорость (величина её пропорциональна ) планет при движении по траектории сохраняется. Что очевидно из равенства , если масса планеты не меняется.

Из основного уравнения динамики вращения следует гироскопический эффект:

1. ось вращения в отсутствии момента внешних сил сохраняет постоянное положение в пространстве;

2. симметричное тело, вращающееся вокруг оси симметрии (гироскоп) под действием момента внешних сил начинает описывать конус – прецессировать, как это наблюдается у детского волчка под действием силы тяжести. – изменение момента импульса направлено вдоль , т.е. перпендикулярно силе mg.

Гироскопический эффект объясняет смену времен года на Земле, устойчивость движущегося велосипеда или мотоцикла. Этот эффект используется для стабилизации полёта пули, наведения ракет на цель, в автопилотах, успокоителях качки и т.д.

Существуют такие оси вращения твёрдого тела, которые не изменяют своего положения в пространстве без действия внешних сил (то есть, не нужны подшипники, удерживающие ось в определенном положении). Такие оси называют свободными. Из 3-х независимых осей вращения, которые возможны для твёрдого тела (X, Y, Z), оси проходящие через центр масс являются свободными (главными осями инерции). Вращение вокруг осей с I_max и I_min устойчивое, вращение вокруг оси с промежуточным I – неустойчивое. Именно это свойство свободных осей сохранять своё положение в пространстве используется в гироскопах.

В качестве примера рассмотрим, при каком условии ось с закрепленными грузами будет свободной.

, где

Если на ось нет горизонтального давления, то ось свободна. Для этого должно выполняться равенство F₁=F₂; , если m₁r₁=m₂r₂, то ось вращения проходит через центр масс.

Зная, основной закон динамики вращения можно сформулировать условия равновесия твёрдого тела: чтобы не было поступательного движения, a_ц.м.=0, υ_ц.м.=0 (const). Для этого результирующая внешних сил должна равняться 0.

Чтобы не было вращения, необходимо, чтобы момент внешних сил был равен нулю.