Приложение 7. Методы ранжирования

Метод парных сравнений

Применяется для ранжирования объектов, характеризуемых несколькими равноценно важными параметрами (многокритериального ранжирования). В простейшем случае сравнения объектов только по одному какому-либо качеству проранжировать их очень просто по оцениваемой величине этого свойства. Если стоит задача проранжировать одни и те же объекты относительно разных свойств, то задача приобретает более сложный характер: упорядочивание объектов сравнения по одному свойству может разрушать упорядочивание по другому свойству. количественно оценив ("измерив") это свойство. Метод попарного сравнения предусматривает интегральную оценку экспертом объектов в отношении целостного представления всех их свойств.

В то же время он базируется на двух технологических приемах: во-первых, - задача эксперта облегчается тем, что в каждой элементарной операции сравнения участвуют каждый раз только два объекта (перебираются все возможные пары) и, во-вторых, эксперт дает оценку на грубом качественном уровне (хуже, лучше, примерно равноценны).

Результаты экспертного сравнения объектов заносятся в специальную матрицу вида:

а). Матрица сравнения (пример заполнения)

	X1	X2	X3	X4
X1	=			=
X2		=		
X3			=	
X4	=			=

Принцип заполнения: если объект Х (номер которого приведен слева в колонке) " лучше" ("больше ", "выше", "приятнее" и т. д., в зависимости от критерия оценки), чем объект Y (номер которго указан в верхней строке), то в элемент матрицы, определяемый строкой номер Х и столбцом номер Y, заносится знак ">". Автоматически в элемент матрицы, определяемый строкой номер Y и столбцом номер Х, заносится знак "<". Если результат сравнения объекта Х с Y обратный - Х "хуже" Y ("меньше", "ниже", "неприятнее" и т.д.), то в элемент матрицы заноситься знак "<", а в симметричную ему клетку таблицы - знак ">". Таким образом для экспертной оценки можно использовать только одну из диагональных половин матрицы, - другая заполняется автоматически.

Если оба объекта могут быть оценены относительно выбранного свойства как примерно равнозначные, то в оба элемента матрицы заноситься знак "=". Естественно, диагональные элементы заполняются знаком "=", так как любой объект тождественен сам себе.

Результат первого этапа тестирования выглядит примерно как это показано в матрице сравнения 1а. (Здесь оценивались 4 объекта).

Полученная экспертная качественная оценка затем «оцифровывается»: знак "" заменяется на значение "0", знак "=" - на "1" и знак "" - на "2".

b). Матрица расчета весомостей и рангов

	X1	X2	X3	X4		W	R
X1	1	0	2	1	4	4/16	2
X2	2	1	0	2	5	5/16	1
X3	0	2	1	0	3	3/16	3
X4	1	0	2	1	4	4/16	2
					=16	W=1

Затем производится расчет индекса предпочтения. В колонке  расчетной матрицы записывается сумма значений оценок стоящих в соответствующей строке. Для проверки, значение величины  (сумма полученных сумм ) должна быть равна N² (где N - количество оцениваемых объектов).

В колонке W вычисляется "весомость" ("значимость") как частное от деления соответствующего значения колонки  на значение . Распределяя места в соответствии со значением весомости получают искомый ранг объектов.

Метод анализа иерархии (Analytic Hierarchy Process)

МАИ (AHP) разработан Томасом Л. Саати для решения сложных плохо формализуемых проблем. Он основан на структурном подходе к моделированию систем в сочетании со специальным кодированием вербально выраженных экспертных оценок. Формально-математическая часть метода состоит в вычислении собственных векторов оценок и иерархическом синтезе локальных весов (приоритетов) для получения глобальных весов возможных вариантов решения проблемы.

Фактически метод состоит из этапов системного анализа (декомпозиции) проблемы и выявление альтернатив решения или других объектов сравнения, получения оценок путем попарного сопоставления альтернатив и наконец синтеза результатов решения подзадач (подпроблем) с учетом их взаимных связей в структуре, построенной на начальном этапе.

Метод анализа иерархии сочетает в себе несколько самых различных свойств. Во-первых, он ориентирован на решение слабо структурированных и плохо формализованных проблем. В этом отношении он является одним из методов системного анализа. Во-вторых, МАИ позволяет решать многокритериальные задачи. Как известно, это самый массовый класс задач в экономике и управлении. В-третьих, являясь, с одной стороны, неформальным методом, с другой он имеет обоснованный математический аппарат для расчета приоритетов и синтезирования весов. В нем удачно сочетаются неформальные и количественные методы исследования и решения проблем.

Этапы МАИ:

• Выделение проблемы. Определение глобальной цели.

• Построение иерархии: от вершины (цели) через промежуточные уровни (критерии) к нижнему уровню альтернатив.

• Построение множества матриц парных сравнений. Матрица строится для глобальной цели и для каждого из элементов промежуточных уровней.

• Расчет собственных векторов и дополнительных величин по каждому из матриц парных сравнений.

• Иерархический синтез оценок для получения искомых весов.

Технологически выполнение экспертной оценки по МАИ аналогично методу парных сравнений, однако вместо простейшей шкалы: лучше (>, 2 балла), безразлично (=, 1 балл), хуже (<, 0 баллов), используется более точная шкала.

d). Шкала экспертной оценки важности метода AHP

Уровень важности	Количественная оценка (Кi)
Равная важность	1 (К1)
Умеренное превосходство	3 (К2)
Существенное или сильное превосходство	5 (К3)
Значительное превосходство	7 (К4)
Очень большое превосходство	9 (К5)

Так же как и в методе парных сравнений соответствующее число заносится в матрицу.

Матрица сравнений критериев приведена в таблице е).

e). Матрица сравнений критериев (пример для 4 альтернатив).

	x1	x2	x3	x4	Собственные вектора X	W	R
x1	1	K12	K13	K14	X1	W1
x2	1/ K12	1	K23	K24	X2	W2
x3	1/ K13	1/ K23	1	K34	X3	W3
x4	1/ K14	1/ K24	1/ K34	1	X4	W4
					Хn

При заполнении «зеркальной» части матрицы в каждую диагонально симметричную клетку, как и в методе парных сравнений, заносится «инверсное» значение. Однако, способ «инверсии» отличается. В качестве «инверсного» значения для оценки k принимается значение 1/k.

Далее определяются собственные вектора с помощью вычисления геометрической средней по формуле:

X_n=(1*П К_ij)^1/n

где К_ij – значения соответствующих оценок в строке альтернативы x1.

Веса альтернатив определяются по формуле:

W₄ = X_n/Х_n

Распределяя места в соответствии со значением весомости получают искомый ранг объектов.