5.3. Устойчивость линейной сау с постоянной матрицей

В случае если элементы матрицы А уравнения

(5.3.1)

не зависят от времени, то исследование асимптотиче­ской устойчивости (далее для краткости просто - ус­тойчивости) упрощается, так как существуют общие методы нахождения фундаментальной системы реше­ний уравнения (5.3.1), так же как и уравнения

(5.3.2)

сводимого, как было показано в подглаве 3.1, к системе вида (5.3.1).

Уравнения (5.3.1) и (5.3.2) описывают свободное движение объекта управления после снятия управ­ляющего воздействия. Очевидно, что фазовый вектор начального состояния (состояния в момент снятия уп­равления), вообще говоря, отличен от нуля, то есть объ­ект находится не в равновесном положении.

Рассмотрим взаимосвязь устойчивости линейной САУ с весовой функцией этой системы, то есть будем считать, что кратковременное воздействие на систему, находящуюся в состоянии равновесия, производится единичным импульсом δ(t). Согласно (3.2.5) в этом случае выходной сигнал и есть весовая функция:

y(t)=ω(t). (5.3.3)

Следовательно, если

(5.3.4)

система будет устойчивой. Если же

(5.3.5)

то она неустойчива; если

(5.3.6)

система будет нейтральной и в соответствии с опреде­лением - неустойчивой.

5.4. Связь устойчивости с корнями характеристического уравнения

Будем искать решение уравнения (5.3.2) в виде Так как , имеем

и, следовательно, если

(5.4.1)

то будет решением уравнения (5.3.2). Та­ким образом, для решения дифференциального урав­нения (5.3.2) требуется решить алгебраическое урав­нение (5.4.1), называемое характеристическим. Ана­логичную операцию можно проделать, решая уравне­ние (5.3.1), а именно искать его решения в виде (i = 1,2,..., n). Так как , то получим

и, следовательно, если

(5.4.la)

то (i = 1, 2, ..., п) будет решением урав­нения (5.3.1).

Обозначая определитель (5.4.la) D(λ) и исполь­зуя разложения определителей, мо­жно показать, что если X(t)=(x₁(t), ..., x_n(t)) - некоторое решение уравнения (5.3.1), то каждая функция x_i(t) (i=1,2,...,п) удовлетворяет диффе­ренциальному уравнению

D(λ)x_t(t)=0, (5.4.1б)

где в многочлене D(λ) степень λ обозначает порядок производной функции x_i(t).

В теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами доказывается (ср. с п. 3.1.1), что общее решение уравнения (5.3.2) есть

, (5.4.2)

если все корни характеристического уравнения (5.4.1) различны. Если же некоторый корень λ_k имеет крат­ность μ_k, то соответствующие члены в (5.4.2) надо за­менить на

(5.4.3)

Так как в характеристическом уравнении, соответ­ствующем реальным САУ, все а_j являются веществен­ными числами, то комплексные корни появляются па­рами комплексно-сопряженных чисел, то есть если λ=σ+iω - корень уравнения (5.4.1), то и - также корень этого уравнения. Соответствую­щие пары членов в решении могут быть заменены сле­дующим образом:

(v=1,2,…,μ_k). (5.4.4)

Из (54.2) - (5.4.4) видно, что при t→∞ будет стремиться к нулю в том и только том случае, когда все корни характеристического уравнения имеют от­рицательные вещественные части.

Таким образом, необходимым и достаточным усло­вием устойчивости линейной с постоянными коэффи­циентами САУ является отрицательность вещественной части всех корней характеристического уравне­ния. Если среди корней характеристического уравне­ния будет хотя бы одна пара комплексно-сопряжен­ных корней с вещественной частью, равной нулю (σ=0, μ_k≠1), то появится составляющая вида (5.4.4) и система будет совершать колебания с нара­стающей амплитудой. При μ_k=1 в системе возникают гармонические колебания с постоянной амплитудой. В этом случае система находится на границе устойчи­вости и неустойчивости, и согласно определению ее следует считать неустойчивой.

После снятия воздей­ствия на линейную САУ (считаем, что это происходит в момент времени t =0) изображе­ние будет иметь вид

(5.4.5)

где - начальные условия, описывающие состояние системы после снятия воздействия. Чтобы установить, как будет вести себя система при t→∞, надо найти . Для этого следует разложить правую часть (5.4.5) на элементарные дроби, то есть сначала найти корни уравнения

эквивалентного (5.4.1) и, соответственно, являющего­ся характеристическим. Затем вычислить значения с_ij и перейти от изобра­жений к оригиналам, что приве­дет к выражениям (5.4.2), (5.4.3). Следовательно, для устойчивости линейной, с постоянными коэффициен­тами САУ необходимо и достаточно, чтобы корни D(p) - полюсы передаточной функции - имели отри­цательные вещественные части или, что то же самое, лежали в левой полуплоскости. Если Re р_j ≥ 0 хотя бы для одного корня р_j уравнения D(p)=0, то си­стема будет неустойчивой: полюс - в правой полу­плоскости.

Если все корни D(p) - знаменателя передаточной функции - различны, то, получим

(5.4.6)

Следовательно, система, выведенная из состояния равновесия неким воздействием в состояние (l=0,1,...,п-1), будет возвращаться в состояние равновесия по закону (5.4.6).