7.7. Преобразование случайных сигналов безынерционными нелинейными звеньями

Мы уже знаем, что в системах управления частo используются нелинейные звенья, у которых зависи­мость выходной величины Y от входной величины X описывается нелинейной функцией φ

Y =φ(X). (7.7.1)

В звене, описываемом уравнением (7.7.1), мгновенное значение Y в момент времени t определяется только мгновенным значением входной величины в тот же момент времени. Если X(t) - случайная функция, то и Y является случайной функцией. В момент t₁ значе­ние X(t₁) представляет собой случайную величину. Значение случайной величины Y(t₁) определяется значением X(t₁). Поэтому, зная вероятностное распреде­ление величины X в некоторый момент времени, мо­жно найти вероятностное распределение для Y.

Пусть F₁(x) - функция распределения случайной величины X и Р₁(х) - плотность распределения этой величины. Необходимо найти плотность распределе­ния Р₂(у) и функцию распределения F₂(y) случайной величины Y, связанной с X зависимостью (7.7.1). Пусть формула (7.7.1) задает однозначную монотон­ную прямую зависимость величины Y от X (чем больше X, тем больше Y). Обозначим обратную зависи­мость X от Y

Х=φ^-1(Y). (7.7.2)

Тогда распределение величины Y

(7.7.3)

Таким образом,

(7.7.4)

Дифференцируя равенство (7.7.4) по у как сложную функцию, получим выражение для плотности вероят­ности P₂(y):

(7.7.5)

откуда

. (7.7.6)

Рассмотрим, например, как преобразуется случай­ная функция квадратичным детектором, когда φ(Х)=аX², то есть Y=аХ². Предположим для простоты, что а=1. Тогда условие φ(Х)<у эквивалентно усло­виям - поэтому, полагая величину Р₁(у) непрерывной, получим

(7.7.7)

При этом плотность P₂(y) для у>0 найдем дифференцированием:

(7.7.8)

Для y<0 имеем F₂(y)≡0.

Найдем среднее значение выходного сигнала т_Y нелинейного звена, а также среднеквадратическое значение или дисперсию D величины Y. Имеем

(7.7.9)

Так как Y=φ(X), то можно написать

(7.7.10)

Среднеквадратическое значение определяется по формуле

(7.7.11)

Для анализа работы САУ часто важно знать зна­чение автокорреляционной функции K_Y(τ), а также спектральной плотности S_Y(ω) выходного сигнала. Предположим, что все случайные процессы стационарные и эргодические; поэтому среднее по множе­ству совпадает со средним по времени, то есть

(7.7.12)

Однако для нелинейных звеньев в общем случае нельзя вычислить K_Y(τ), зная лишь автокорреляцион­ную функцию K_Х(τ) входного сигнала X; следовательно, нельзя найти и спектральную плотность S_Y(ω) выходной величины.

7.8. Понятие статистически оптимальной линейной системы

Задачи, рассмотренные в двух предыдущих пара­графах, можно сформулировать так: задана система, требуется узнать, как проходят через нее случайные сигналы. Это задачи анализа готовой системы. На практике часто приходится решать другую задачу: за­даны условия, которым должна удовлетворять систе­ма, требуется построить соответствующую систему. Такая задача называется задачей синтеза системы.

Наиболее простая задача синтеза системы может быть сформулирована так. Из каких-то конкретных соображений определена структурная схема системы, но один или несколько параметров в этой схеме неизвестны. Требуется так выбрать эти параметры, чтобы удовлетворить заданным требованиям. Эта задача носит название задачи ограниченного синтеза. В более общем случае необходимо выбрать структуру системы и ее параметры. При этом нужно выбрать систему, наилучшую в том или ином отношении, то есть оптимальную систему.

На вход реальной системы могут поступать раз­личные сигналы и помехи. Как бы ни была спроекти­рована система, она в одних условиях ведет себя наилучшим образом, а в других случаях - не наилуч­шим. Это означает, что можно построить систему, ко­торая в этих условиях имела бы лучшие показатели. Поэтому выбор оптимальной системы, работающей при случайных воздействиях, правильно осуществлять на основе статистического критерия оптимальности. Например, можно назвать лучшей систему, которая в среднем работает наилучшим образом. Для такой системы критерием оптимальности будет среднее зна­чение соответствующего показателя. Статистические критерии оптимальности могут быть различными для различных задач.

Пусть требуется на выходе системы иметь сигнал Y₀(t), который мы будем считать идеальным. Реаль­ная система из-за искажений и помех обеспечивает выходной сигнал Y(t), то есть существует погрешность (ошибка), значение которой

ε(t)=Y₀ (t) - Y(t). (7.8.1)

Систему можно считать тем лучшей, чем меньше вели­чина ошибки ε(t).

О качестве системы целесообразно судить не непосредственно по величине ошибки, а по некоторой зависящей от ошибки функции I, определяемой кон­кретными требованиями к системе. Функцию ошибок, характеризующую качество системы, называют функцией потерь (функцией риска), а ее значение - потерями (риском).

Наиболее часто в качестве такой функции исполь­зуется среднеквадратическая ошибка, то есть математи­ческое ожидание квадрата ошибки

Если Y(t) - эргодический случайный процесс, то

(7.8.2)

Как правило, на входе управляющего устройства одновременно действуют управляющий сигнал u(t) и помеха (шум) f_ш(t). Так, например, на входе следя­щей системы радиолокатора, которая предназначена для измерения координат летящих самолетов, помимо полезного управляющего

сигнала u(t), действуют по­мехи f_ш. Следящая система (рис. 7.5) должна с максимальной точностью воспроизвести на выходе вход­ной сигнал. Ошибка системы в этом случае равна

ε(t)= u(t) - у(t), (7.8.3)

где y(t) - выходная координата объекта.

Рисунок 7.5

Результирующим внешним воздействием на входе управляющего устройства будем считать разность уп­равляющего сигнала и помехи, то есть помеха уменьшает входной сигнал и мешает управлению. Если W_об(p) и W_yy(p) - соответственно передаточные функции объекта и управляющего устройства, то изображение выходной величины объекта:

(7.8.4)

где W(p)=W_об(p)W_yy, F_ш(p) - изображение функции f_ш(t).

Найдем изображение ошибки:

(7.8.5)

или Е(р)=Е_у(р)+Е_ш(р), где

(7.8.6)

(7.8.7)

Отсюда следует, что ошибка слежения является сум­мой двух ошибок - ошибки воспроизведения управ­ляющего сигнала Е_у(р) и ошибки, вызванной дейст­вием помехи. Здесь, несмотря на то, что управляющий сигнал и помеха приложены в одной и той же точке системы, влияние их на ошибку различно.

Если управляющий сигнал и помеха приложены в разных точках системы, то можно методами, рассмо­тренными в главе 2, перенести оба сигнала к одному входу и затем использовать формулы (7.8.4) и (7.8.5).

Так как ошибка системы зависит от передаточной функции разомкнутой системы W(p), то, естественно, желательно выбрать W(p) так, чтобы свести к мини­муму влияние помехи. Рассмотрим в общих чертах, как выбирают параметры схемы системы, которая при совместном действии на нее полезного сигнала и по­мехи обеспечивает минимальную величину средней квадратичной ошибки, то есть как определить параметры W(p), при которых достигается минимум

М[ε²(t)]. (7.8.8)

Пусть управляющий сигнал и помеха являются стационарными случайными функциями, статистиче­ски независимыми друг от друга. Выразим дисперсию суммарной ошибки через передаточную функцию W(p) и спектральные плотности сигнала S_y(ω) и по­мехи S_ш(ω). Используя формулы (7.8.5). и (7.5.11), можно написать

(7.8.9)

После интегрирования и подстановки пределов полу­чим σ² как функцию параметров системы, то есть как функцию от постоянных времени и коэффициентов, усиления звеньев системы.

Оптимальные параметры системы, соответствую­щие минимальному значению σ², можно находить ме­тодами определения экстремума функции многих пе­ременных. Для решения этой задачи и задач опреде­ления оптимального управления (то есть определения оптимальных входных сигналов) используются мето­ды, описанные в главе 8.

В заключение этого параграфа кратко сформули­руем задачу нахождения статистически оптимальной передаточной функции линейной системы. В качестве примера возьмем следящую систему. Решение этой задачи дано выдающимся американским ученым Норбертом Винером, в развитие теории, разработанной советским ученым А. Н. Колмогоровым. В качестве критерия оптимальности использована среднеквадратическая ошибка.

Пусть на систему действует управляющий сигнал u(t) и помеха f(t), приложенные к одной точке. Если система выполняет свою функцию идеально, то выход­ная величина y₀(t)=u(t). В реальных условиях си­стема выполняет свою функцию с отклонением от предписанного закона, то есть с ошибкой. Если обозна­чить выходную величину реальной системы через y(t), тогда ошибкой будем считать разность

ε(t)=u(t)-y(t). (7.8.10)

Пусть сигналы, действующие на систему, являются стационарными и эргодическими; тогда определим среднеквадратическую ошибку как математическое ожидание

(7.8.11)

Минимальная величина погрешности (7.8.11) мо­жет быть обеспечена выбором структуры системы, то есть выбором передаточной функции. Систему, у которой выражение (7.8.11) будет минимальным, называют статистически оптимальной системой.