5.8. Логарифмический критерий устойчивости

Понятие “охватывает точку (1, i0)”, используемое в вышеприведенной формулировке критерия Найкви­ста, имеет некоторую неопределенность, и в некото­рых случаях до полного построения годографа Ми­хайлова (-∞<ω< ∞) трудно вынести окончатель­ное суждение. Поэтому часто дают формулировку критерия Найквиста, основанную на подсчете числа переходов частотного годографа W(iω) через действи­тельную полуось от -1 до -∞ применительно к ло­гарифмическим частотным характеристикам системы, находящейся в разомкнутом состоянии.

Пересечениям годографа W(iω) с отрезком дей­ствительной оси (-∞, -1) соответствуют точки, для которых

(5.8.1)

Точки, в которых L_m > 0, а фазочастотная характери­стика θ(ω) пересекает прямые в θ=-π(2k-1) (k=0,1,2,...), называются точками перехода. Если переход при увеличении ω происходит снизу вверх (П↑), то он считается положительным, а если переход при увеличении происходит сверху вниз (П↓), - от­рицательным.

Используя это определение, критерий Найквиста можно переформулировать следующим образом. Если l - число корней характеристического уравнения ра­зомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости, то необходимым и достаточным условием устойчиво­сти САУ является равенство

(5.8.2)

Для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии l=0, условие (5.8.2) переходит в (П↑)=(П↓). (5.8.3)

Для систем, находящихся в разомкнутом состоянии на границе устойчивости и имеющих v нулевых корней характеристического уравнения, значение l нужно брать равным нулю, а фазочастотную характеристику, которая при ω→0 стремится к - vπ/2 (5.7.12), сле­дует дополнить монотонным участком, приводящим ее к значению θ = 0; при этом L_m→∞.

5.9. Запас устойчивости по фазе и амплитуде

Изменение параметров систем автоматического уп­равления (изменение а_j (j=0,1,..., п) в характери­стическом уравнении) может привести к появлению корней, лежащих на мнимой оси или в правой полу­плоскости, то есть вызвать неустойчивость. Такую воз­можность следует учитывать при проектировании САУ и заранее обеспечивать некий запас устойчивости, который необходим прежде всего потому, что реальная АФХ отличается от АФХ, построенной по математиче­ской модели. Это связано с тем, что параметры мо­дели определяются приближенно и зачастую считают­ся не зависимыми от времени, в то время как они мо­гут меняться в процессе работы.

Количественные величины, характеризующие за­пасы устойчивости системы, легко могут быть полу­чены при использовании критерия Найквиста. Допу­стим, что разомкнутая система устойчива и имеет ча­стотный годограф, изображенный на рис. 5.6. Запас устойчивости будет соответствовать удалению от кри­тической точки с координатами (-1,i0). Это удале­ние может быть охарактеризовано запасом устойчиво­сти системы по фазе и запасом устойчивости системы по амплитуде.

Запасом устойчивости системы по фазе называется угол

Δθ=180° - θ₁, (5.9.1)

где θ_i - значение фазы, при котором . Частота ω₀, при которой годограф пересекает единич­ную окружность, называется частотой среза. Таким образом, запас по фазе показывает, насколько нужно увеличить фазу системы, не изменяя ее амплитуды (например, ввести запаздывающее звено), чтобы ус­тойчивая прежде система оказалась на границе устойчивости. Заметим, что для неустойчивых систем за­пас по фазе отрицателен.

Запасом устойчивости системы по амплитуде на­зывается величина

(5.9.2)

где ω_π - значение частоты, соответствующей фазе θ=180°. Величина β показывает, во сколько раз не­обходимо увеличить (для неустойчивых систем - уменьшить) коэффициент усиления при неизменных значениях других параметров, чтобы устойчивая си­стема оказалась на границе устойчивости.

Если обозначить через k коэффициент усиления системы, k_пр-предельный коэффициент усиления, то нетрудно видеть, что β = k_np/k.

Запас устойчивости по усилению удобно выражать в логарифмическом масштабе:

L_з.у=20lgβ = - 20lg|W(iω)|= - L_m(ω_π). (5.9.3)

Из (5.9.3) ясно, что L_з.у>0 для устойчивых систем и L_з.у < 0 для неустойчивых систем.

Запасы устойчивости САУ не только гарантируют сохранение устойчивости при изменении параметров, но и в определенной степени характеризуют качество САУ.