7. Случайные воздействия в линейных сау

7.1. Понятие случайной функции

Исследование влияния случайных воздействий на САУ проводится методами теории вероятностей.

Воздействия в САУ являются случайными величи­нами, зависящими от времени, то есть случайными функ­циями. Случайной функцией называют функцию не­случайного аргумента t, которая при каждом фикси­рованном значении аргумента t является случайной величиной. Случайные функции аргумента будем обо­значать прописными буквами: X(t), Y(t) и так далее. На­пример, если U - случайная величина, то функция U(t) - случайная функция. Если параметр t - время, то случайную функцию называют случайным процес­сом.

Конкретный вид случайной функции в данном опыте называется реализацией случайной функции. На рис. 7.1 показаны 5 реализаций случайной функции X(t), полученные в 5-ти опытах (х₁(t)...,x₅(t)). Реализация является неслучайной функцией аргумен­та t, равной которой может оказаться случайная функция в результате испытания. Случайную функ­цию можно рассматривать как совокупность ее воз­можных реализаций.

Сечением случайной функции называют случай­ную величину, соответствующую фиксированному зна­чению аргумента t случайной функции.

Рассмотрим n сечений (рис. 7.1) случайной функ­ции X(t₁), X(t₂),..., X(t_n), соответствующих t=t₁, t=t₂,…,t=t_n, в результате мы получим n-мерную случайную величину, которая соответствует случай­ной функции X(t). Случайную функцию можно рассматривать как совокупность случайных величин {X(t)}, зависящих от параметра t, или как многомер­ную случайную величину.

Задать случайную функцию аналитически (форму­лой) в общем случае невозможно. В частных случаях, если вид случайной функции известен, а определяю­щие ее параметры - случайные величины, то случай­ную функцию можно задать аналитически. Например, случайными будут функции X(t)=sin U(t), где U - случайная величина, и Y(t)=WsinU(t), где W и U - случайные величины.

Рисунок 7.1

При фиксированном значении аргумента случай­ная функция является случайной величиной. Для за­дания случайной величины достаточно задать закон ее распределения или одномер­ную плотность вероятности. Например, для случайной величины Х₁=Х₁(t) нужно знать плотность вероят­ности f(x₁).

Одномерную плотность вероятности для любого сечения обозначают f₁(x;t); здесь индекс 1 при f по­казывает, что плотность вероятности одномерная, а ар­гумент t принимает все возможные значения. Так, сече­ние X(t₁) при t = t₁ характеризуется функцией f(x₁; t). Функция f₁(x; t) полностью характеризует только каждое отдельно взятое сечение, но не характеризует саму случайную функцию, кроме случая, когда набор сечений образует систему независимых случайных ве­личин. Так как случайную функцию можно рассма­тривать как многомерную случайную величину, то для полного задания случайной функции необходимо знать все n-мерные функции распределения или n-мерные плотности вероятностей f_n(x₁, х₂,..., х_п; t₁, t₂,..., t_n), которые зависят от n переменных х и п значений ар­гумента t.

Чем выше порядок заданных функций распределе­ния случайной функции, тем полнее она описана. Тео­ретически исчерпывающей характеристикой является функция распределения бесконечно большого поряд­ка, охватывающая все сечения случайной функции. Однако использование таких характеристик случай­ных функций для инженерных расчетов практически нецелесообразно из-за большой громоздкости вычисле­ний. Поэтому на практике ограничиваются использо­ванием таких характеристик случайной функции, ко­торые хотя и описывают ее менее полно, но позволяют существенно упростить расчеты САУ.

Корреляционной теорией случайных функций на­зывают теорию, основанную на изучении моментов 1-го и 2-го порядка, что оказывается достаточным для решения многих практических задач. В отличие от моментов случайных величин, которые являются чис­лами и поэтому называются числовыми характеристи­ками, моменты случайной функции являются неслу­чайными функциями, и их называют характе­ристиками случайной функции. Эти характеристики можно найти из опыта.