7.3. Стационарные случайные функции

Случайную функцию X(t) называют стационарной в широком смысле, если ее математическое ожидание постоянно при всех значениях аргумента t, а корреля­ционная функция зависит только от разности аргу­мента t₂ и t₁. Случайную функцию X(t) называют ста­ционарной в узком смысле, если все характеристики этой функции (не только корреляционная функция) зависят только от разности аргументов t₂ и t₁ и не за­висят от положения интервала t₂–- t₁ в области изме­нения аргумента. Из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле; обратное утверждение в общем случае неверно.

В корреляционной теории используются только две характеристики (математическое ожидание и корре­ляционная функция), и поэтому далее будем рассматривать случайные функции, стационарные в широком смысле, причем будем называть их просто стационар­ными.

Корреляционная функция стационарной случайной функции есть функция одного аргумента τ = t₂ - t₁:

К_х(t₁, t₂)=К_х (t₂ - t,)=K_x(τ), (7.3.1)

а ее дисперсия постоянна при всех значениях аргу­мента и равна значению корреляционной функции при τ = 0:

D_x(t)=К_х(t, t)=K_x(t-t)=K_x(0). (7.3.2)

Среди стационарных случайных функций выделяют класс функций, для которых характерно свойство эр­годичности, которое состоит в том, что все усреднен­ные статистические характеристики одинаковы для всех сечений и все они эквивалентны статистическим характеристикам одной реализации, достаточно длин­ной по времени. Поэтому для эргодического случай­ного процесса среднее по множеству реализаций рав­но среднему по времени для любой достаточно длин­ной реализации.

Достаточное условие эргодичности случайной функции относительно математического ожидания со­стоит в том, что ее корреляционная функция К_х(τ) при τ→∞ стремится к нулю:

(7.3.3а)

Достаточное условие эргодичности стационарной случайной функции относительно корреляционной функции состоит в том, что корреляционная функция случайной функции при τ→∞ стремится к нулю:

(7.3.3б)

Для эргодической случайной функции

(7.3.4)

(7.3.5)

Для двух стационарных случайных эргодических функций X(t) и Y(t) при двух любых реализациях x(t) и y(t) взаимная корреляционная функция

(7.3.6)

или

(7.3.7)

Для эргодической случайной функции корреля­ционная функция приближенно вычисляется по одной реализации достаточно большой

длительности Т сле­дующим образом (рис. 7.3). Интервал разбивается на большое количество N(N>>100) малых промежутков времени ∆, то есть Т=N∆. Корреляционную функцию вычисляют по формуле

(7.3.8)

При вычислении по этой формуле важно, чтобы вели­чина N была больше т: чем больше N, тем точнее ре­зультат расчета.

Рисунок 7.3

7.4. Спектральное представление стационарной случайной функции

Ранее было показано, что одними из важнейших характеристик САУ являются частные характери­стики, которые определяют поведение системы при гармонических воздействиях различной частоты. В связи с тем, что по известной частотной характери­стике можно найти весовую переходную функцию w(t -τ) и передаточную функцию W(p) системы, для исследования поведения САУ при случайных воз­действиях очень полезным оказывается спектральное представление случайной функции.

Пусть случайная функция

X(t)=Usinωt + Vcosωt, (7.4.1)

где U и V - две некоррелированные случайные вели­чины, такие, что

М[U]=М[V]=0, D[U]=D[V]=d₁ (7.4.2)

и, соответственно, K_UV=0. Тогда из свойства матема­тического ожидания и корреляционной функции, изло­женных выше, имеем:

М [X(t)]=0, (7.4.3)

К_х[t₁, t₂]=d₁(cos ωt₁ cosωt₂ + sin ωt₁sinω₁t₂)=d₁cosω(t₁ -t₂), (7.4.4)

то есть X(t) является стационарной в широком смысле. Пусть случайная функция является суммой конеч­ного числа слагаемых вида

(7.4.5)

Здесь случайные величины U_i и V_i некоррелированы, их математические ожидания равны нулю, а диспер­сии величин с одинаковыми индексами равны между собой:

M(U_i)=M(V_i)=0, D(U_i)=D(V_i)=d_i. (7.4.6)

Очевидно, что X(t) - центрированная функция, то есть M[X(t)]=0, так как математические ожидания каждого слагаемого суммы (7.4.5) равны нулю.

Преобразуем правую часть выражения (7.4.5):

Обозначив V_i/U_i=tg φ_i, после преобразований получим

то есть случайную функцию (7.4.5) можно рассматри­вать как сумму гармоник различных частот ω_i со слу­чайными амплитудами и случайными фа­зами φ_i=arctg V_i/U_i.

Определим корреляционную функцию этой случай­ной функции:

(7.4.7)

Таким образом, если случайная функция X(t) может быть представлена в виде суммы гармоник различных частот со случайными амплитудами и случайными фазами, то X(t) - стационарная в широком смысле.

Спектральным разложением стационарной случай­ной функции называют представление этой функции в виде суммы гармонических колебаний различных частот со случайными амплитудами и фазами.

Определим дисперсию одной гармоники X_i(t), учи­тывая, что случайные величины U_i и V_i некоррелированы и дисперсии величин с одинаковыми индексами равны между собой:

. (7.4.8)

Принимая во внимание, что слагаемые X_i(t) некоррелированы и, следовательно, дисперсия их суммы равна сумме дисперсий слагаемых, имеем

(7.4.9)

то есть дисперсия стационарной случайной функции, ко­торая может быть представлена в виде суммы конеч­ного числа гармоник с произвольными частотами, рав­на сумме дисперсий составляющих ее гармоник.

Дискретным спектром стационарной случайной функции вида (7.4.5) называют совокупность диспер­сий всех составляющих ее гармоник. Спектр можно изобразить графически: по оси абсцисс отклады­вают частоты, а по оси ординат - соответствующие дисперсии.