Энергия электрического поля в конденсаторе равна
.
(7.12)
Энергия магнитного поля в катушке индуктивности
.
(7.13)
т.к.
,
то для амплитудных значений заряда и
тока выполняется соотношение:
.
(7.14)
Полная энергия электромагнитных колебаний в контуре
.
Полная энергия свободных электромагнитных колебаний в контуре при R=0 сохраняется. Происходит лишь периодическое преобразование энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и наоборот.
7.2.Затухающие электромагнитные колебания
Каждый реальный колебательный контур обладает активным сопротивлением. Электромагнитная энергия, запасённая в контуре, постепенно тратится на нагревание. Свободные электромагнитные колебания будут затухать.
Р
ассмотрим
реальный колебательный контур (рис.7.5).
В нём протекает изменяющийся во времени
ток. Запишем закон Ома для этого случая
.
(7.15)
В
этом выражении
– падение напряжения на активном
сопротивлении;
– напряжение на конденсаторе;
- э.д.с. самоиндукции.
В любой момент времени ток в контуре равен
,
(7.16),
А напряжение на конденсаторе
,
(7.17)
Э.Д.С. Самоиндукции
.
(7.18)
Подставим выражения (7.16), (7.17), (7.18) в закон Ома (7.15), и, проведя преобразования, получим:
.
(7.19)
Обозначим
и
. Тогда уравнение (7.19) можно записать в
виде:
.
(7.20)
Из математики: решение однородного дифференциального уравнения (7.20) (при β<ω0) имеет вид:
.
(7.21)
Здесь
и
определяются из начальных условий, β
и ω
определяются свойствами самого контура.
Величина
называется коэффициентом затухания;
.
Г
рафик
зависимости q(t)
приведен на рисунке 7.6. Пунктирная кривая
соответствует функции
.
Из формулы (7.21) и из графика следует, что затухающие колебания не являются периодическими. Однако, при их описании используют те же термины, что и для гармонических колебаний.
Величину (7.22)
называют циклической частотой затухающих колебаний.
Величину
(7.23)
называют периодом (условным) затухающих колебаний.
При
небольших затуханиях
и
,
тогда
.
(7.24)
Множитель (7.25)
называют амплитудой затухающих колебаний. Амплитуда затухающих колебаний уменьшается во времени тем быстрее, чем больше коэффициент затухания β (рис.7.7).
П
ри
увеличении коэффициента затухания
условный период возрастает и при
Т
∞ (формула
9). Это означает, что при
вместо
колебаний в контуре будет происходить
апериодический
разряд
конденсатора (рис.7.7)
Минимальное
значение активного сопротивления
контура, при котором наступает
апериодический процесс, называется
критическим.
Критическое сопротивление находится
из условия
или
. (7.26)
. (7.27)
Рассмотрим ещё одну величину, характеризующую затухание: логарифмический декремент затухания δ. В общем случае он равен натуральному логарифму отношения двух значений амплитуд, взятых через один период колебаний:
.
(7.28)
Для нахождения δ подставим в формулу (7.28) выражение (7.25), получим:
или 
. (7.29)
Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности. Добротность характеризует потери энергии в системе и определяется общей формулой:
.
(7.30)
В формуле (7.30) W(t) – энергия колебательной системы в момент времени t; W(t) – W(t + T) – убыль энергии за один период колебаний.
Энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний:
.
(7.31)
Подставим выражение (7.31) в формулу (7.30), получим:
.
(7.32)
Разложим экспоненту в знаменателе выражения (7.32) в ряд Маклорена и учтём, что при малых значениях аргумента
.
Получим, что при малых затуханиях добротность контура определяется приближенной формулой:
.
(7.33)