1 Лекция №1. Введение

Первая глава курса математического анализа, в которой вводятся такие основные его понятия, как последовательность, функция, их предел, непрерывность функции и др., изложена в нашем пособии «Введение в математический анализ». Содержание этой главы изучается на первых одиннадцати лекциях и стольких же практических занятиях первого семестра. Изучение следующей главы, посвященной дифференциальному исчислению функций одной переменной, рассчитано на 34 часа: восемь лекций, восемь практических занятий и контрольная работа. Содержание этих лекций с планами проведения соответствующих практических занятий представлено в предлагаемой второй части пособия.

1.1 Производная функции

Определение 1. Производной от функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента , когда .

Символически это определение можно записать так:

.

(1)

Для производной функции одной переменной существуют также следующие обозначения: . Смысл и происхождение двух последних обозначений мы проясним ниже.

При фиксированном величина есть функция от : .

Для существования производной от функции в точке необходимо, чтобы была определена в некоторой окрестности точки , в том числе в самой этой точке. Тогда функция определена для достаточно малых, но не равных нулю , т.е. для , удовлетворяющих неравенствам , где достаточно мало.

Но это условие не является достаточным для существования производной: не для всякой функции , определенной в окрестности точки , существует предел (1).

Обычно, когда говорят, что функция имеет в точке производную , имеют в виду, что предел (1) – конечен. Если предел (1) равен , то говорят, что в точке функция имеет бесконечную производную.

Если в формуле (1) предполагается, что и , то соответствующий предел, если он существует, называется правой производной от функции в точке :

;

(2)

аналогично определяется левая производная функции в точке :

.

(3)

Если функция имеет в точке в точке левую и правую производную, и эти производные равны, то функция имеет производную в точке .

(4)

Но если правая и левая производные в точке существуют и не равны, то производная в точке у функции не существует.

Из непрерывности функции в точке не следует существования производной у функции в этой точке. В частности, существуют функции, которые непрерывны на всей действительной оси, но не во всякой точке имеют производную. Однако всякая функция, имеющая в точке конечную производную, непрерывна в этой точке. Докажем это.

Пусть предел (1) существует и конечен в точке . Этот факт можно записать следующим образом:

, где .

(5)

(Здесь мы воспользовались теоремой о представимости функции, имеющей предел, в виде суммы этого предела и бесконечно малой функции. См. [10, с. 61], теорема 7.2.1).

Умножим обе части равенства (5) на . Получим: . Перейдем к пределу при в обеих частях полученного равенства, и увидим, что , а это и означает, что функция непрерывна в точке .