2.6 Задачи для самостоятельного решения

Найти производные следующих функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. .

3 Лекция №3. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная неявной функции. Логарифмическое дифференцирование

3.1 Производные и дифференциалы высших порядков

Производной второго порядка или второй производной заданной функции называется производная от ее производной :

;

аналогично, производной третьего порядка или третьей производной данной функции называется производная от ее второй производной. Вообще, производной -го порядка или -ой производной данной функции, называется производная от -ой производной от этой функции. Обозначение -ой производной: .

Дифференциал функции является функцией от : . Его можно назвать первым дифференциалом.

По определению вторым дифференциалом от функции в точке называется дифференциал от первого дифференциала в этой точке. Обозначение: .

Чтобы вычислить второй дифференциал, необходимо взять производную по переменной от произведения , считая, что есть постоянная (не зависящая от ), и результат умножить на :

.

Вообще, по определению, дифференциалом порядка функции называется первый дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции и обозначается через

.

Очевидно, что

,

(1)

поскольку эта формула верна при ; если допустить, что она верна для , то

.

Разумеется, для существования дифференциала порядка функции в точке необходимо, чтобы эта функция имела производную -го порядка в этой точке .

В силу формулы (1) получим:

.

(2)

То есть, производная -го порядка от функции по независимой переменной равна частному от деления -го дифференциала функции на -ю степень дифференциала независимой переменной .

Формула (2) не будет верной, если в ней независимую переменную заменить на зависимую переменную, например, на , т.е. если рассматривать сложную функцию . Как тогда выразить дифференциалы функций?

Применим правило дифференцирования сложной функции.

.

Таким образом,

.

(3)

Дифференциал функции равен произведению ее производной на .

Таким образом, первый дифференциал функции выражается по одной и той же формуле независимо от того, будет ли рассматриваться как функция от независимой переменной , или же как функция от зависимой переменной . Форма первого дифференциала в этом случае сохраняется, поэтому говорят, что она инвариантна. Этого нельзя сказать о форме второго дифференциала.

Пусть , где .

Найдем второй дифференциал функции .

;

но ; итак,

.

(4)

Здесь величина определяется равенством

.

Правая его часть будет равной нулю для всех , только если (линейная функция).

Таким образом, выраженная через форма второго дифференциала не сохранилась, к слагаемому добавилось слагаемое , которое, вообще говоря, не равно нулю.