1.4 Задачи для самостоятельного решения

1. Найти приращение и отношение для функции при и .

2. Найти приращение и , соответствующие изменению аргумента от до для функций:

а) ;

б) ;

в) .

3. Найти для функций:

а) ;

б) .

4. Показать, что следующие функции не имеют конечных производных в указанных точках:

а) в точке ;

б) в точках .

5. Найти угловой коэффициент касательной к кривой , проведенной в точке .

6. Чему равны угловые коэффициенты касательных к кривым и в точке их пересечения? Найти угол между этими касательными.

7. Найти углы между кривыми и .

8. Угол поворота тела вращения вокруг оси вращения изменяется в зависимости от времени по закону . Найти угловую скорость вращения тела в момент (угол измеряется в радианах).

2 Лекция №2. Дифференцируемость функции. Правила дифференцирования функции

2.1 Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал

Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде:

.

(1)

Напомним, что – это бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с , т.е. ; не зависит от , но, вообще говоря, зависит от .

Теорема 1. Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , т.е., чтобы ее приращение в этой точке представлялось по формуле (1), необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой точке. И тогда .

Доказав эту теорему, мы покажем, что утверждения «функция одной переменной имеет конечную производную в точке » и «функция одной переменной дифференцируема в точке » – равносильны. Поэтому процесс нахождения производной функции называется также дифференцированием функции .

Доказательство: Сначала докажем теорему в части достаточности.

Пусть существует конечный предел .

По теореме о представимости функции, имеющей конечный предел, в виде суммы этого предела и бесконечно малой величины, можно написать: , где при .

Тогда можно записать в виде: , где при .

Поскольку произведение бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к каждому из сомножителей, то . Значит , и мы представили в виде (1), где .

Теперь докажем теорему в части необходимости.

Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. пусть представляется по формуле (1).

Тогда, предполагая, что , получим: ; перейдем к пределу при .

Предел правой части равенства существует и равен , значит .

Это и означает, что существует производная .

Теорема доказана.

Определим теперь понятие дифференциала.

Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. для ее приращения в точке выполняется равенство (1). Тогда есть сумма двух слагаемых. Первое из них пропорционально (напомним, что не зависит от ). В таких случаях говорят, что первое слагаемое есть линейная однородная функция от .

Второе слагаемое, при , – бесконечно малая высшего порядка по сравнению с . Если , то второе слагаемое стремится к нулю при быстрее, чем первое. В связи с этим первое слагаемое называется главной частью приращения при . Это слагаемое называется дифференциалом функции и обозначается символом .

Итак, повторим определение.

Определение 2. Если функция дифференцируема в точке , т.е. ее приращение в этой точке представляется по формуле

,

(2)

то главная часть этого приращения, линейная относительно называется дифференциалом функции :

.

Геометрический смысл дифференциала.

Изобразим график некоторой функции (см. рисунок 8).

Рисунок 8

Выберем на нем точку и точку . Проведем касательную к графику функции в точке . Напомним, что , где – угол, образованный касательной к графику функции в точке и положительным направлением оси . Из рисунка видно, что ; .

Таким образом, дифференциал функции в точке есть приращение ординаты точки, лежащей на касательной к графику функции в точке .

Из рисунка видно также, что для линейной функции при всяком значении имеет место равенство .

В частности, для .

Таким образом, дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой:

.

Поскольку , дифференциал функции при достаточно малых может считаться приближенным значением приращения функции.

.

Теперь становится понятным обозначение производной, которое, несомненно, уже встречалось вам: .

Рассмотрим пример отыскания дифференциала функции.

Пример 1. Найти дифференциал функции .

Решение: ; ; .

Ответ: , .

Другой пример показывает применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Пример 2. Найти приближенное значение .

Решение: Формула (1) для нашего случая будет выглядеть так:

, .

Пусть . Тогда

.

Ответ: .