7.5 Полное исследование функции методами дифференциального исчисления и построение её графика
Приведем примерную схему исследования графика функции, чтобы затем построить эскиз её графика.
Найти область определения функции и исследовать поведение функции вблизи граничных точек области определения, включая и
.Написать уравнения асимптот графика:
а) вертикальных;
б) невертикальных.
Выяснить является ли функция четной, нечетной, периодической. Если она обладает каким-либо из этих свойств, то как это отразится на графике?
Найти точки пересечения графика с осями координат.
Найти точки экстремума и интервалы монотонности функции.
Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
Построить эскиз графика функции.
Пример 5.
Исследовать функцию
и построить ее график.
Решение:
1) Найдем область определения функции:
,
.
.
2) Найдем асимптоты графика функции:
а) вертикальные.
– точка разрыва функции. Исследуем поведение функции слева и справа от этой точки.
,
.
Так как пределы оказались бесконечными, то – вертикальная асимптота.
б) невертикальные: .
,
.
– наклонная
асимптота.
3) Исследуем функцию на четность, нечетность и периодичность.
Так как область определения функции множество, не симметричное относительно нуля, то функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая.
4) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
,
– точка пересечения графика функции
с осью
.
,
решая квадратное уравнение, находим
два корня:
,
.
и
– точки пересечения графика функции
с осью
.
5) Найдем точки экстремума и интервалы монотонности функции.
,
решая квадратное уравнение, находим
корни:
,
.
Областью определения
первой производной является множество:
.
Критическими точками являются найденные
точки:
,
и
.
Рассмотрим интервалы
;
;
;
.
Применим теперь достаточное условие экстремума функции, для этого выберем внутри каждого из этих интервалов произвольную точку и определим в этой точке знак производной (см. рисунок 60).
Рисунок 60
Приходим к заключению, что в критической точке имеет место максимум, а в точке имеет место минимум.
,
.
При
и
функция возрастает, а при
и
функция убывает.
6) Найдем точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
.
Вторая производная функции не обращается в нуль ни в одной точке действительной оси, отсюда следует, что функция не имеет точек перегиба.
Областью определения
второй производной является множество:
.
Точка
является критической точкой II
рода. Отметим эту точку на числовой
прямой и найдем знаки второй производной
в каждом из интервалов:
и
(см. рисунок 61).
Рисунок 61
При
,
значит график функции
выпуклая кривая на этом интервале. При
,
значит график функции
вогнутая кривая на этом интервале.
7) Построим эскиз графика функции (рисунок 62).
Рисунок 62
Пример 6.
Исследовать функцию
и построить ее график.
Решение:
1) Найдем область определения функции:
.
2) Найдем асимптоты графика функции:
а) вертикальные.
Вертикальных асимптот график функции не имеет, так как функция определена на всей числовой оси.
б) невертикальные:
.
Так как последний предел бесконечен, то наклонных асимптот график функции не имеет.
3) Исследуем функцию на четность, нечетность и периодичность.
,
так как
и
,
то функция не является ни четной ни
нечетной.
Функция не периодическая.
4) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
,
– точка пересечения графика функции
с осями.
,
,
– точка пересечения графика функции
с осью
.
5) Найдем точки экстремума и интервалы монотонности функции.
.
,
.
Областью определения
первой производной является множество:
.
Критическими точками функции являются
точки:
,
и
.
Рассмотрим интервалы
;
;
;
.
Применим теперь достаточное условие экстремума функции. Для этого выберем внутри каждого из этих интервалов произвольную точку и определим в этой точке знак производной (см. рисунок 63).
Рисунок 63
Приходим к заключению, что в критических точках и имеет место минимум, а в точке имеет место максимум.
,
,
.
При
и
функция убывает, а при
и
функция возрастает.
6) Найдем точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
.
,
решая квадратное уравнение, находим
корни:
,
.
Областью определения
второй производной является множество:
.
Точки
,
,
,
являются критическими точками II
рода. Отметим эти точки на числовой
прямой и найдем знаки второй производной
в каждом из интервалов:
,
,
,
и
(см. рисунок 64).
Рисунок 64
,
,
,
– точки перегиба графика функции.
При
,
,
значит график функции
вогнутая кривая на этих интервалах.
При
,
,
,
значит график функции
выпуклая кривая на этих интервалах.
7) Построим эскиз графика функции (рисунок 65).
Рисунок 65
Пример 7.
Исследовать функцию
и построить ее график.
Решение:
1) Найдем область определения функции:
,
.
.
2) Найдем асимптоты графика функции:
а) вертикальные.
– точка разрыва функции, исследуем поведение функции слева и справа от точки .
,
.
Так как пределы оказались бесконечными, то – вертикальная асимптота.
б) невертикальные:
;
при график функции асимптот не имеет.
,
.
– горизонтальная асимптота при .
3) Исследуем функцию на четность, нечетность и периодичность.
Так как область определения функции множество, не симметричное относительно нуля, то функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая.
4) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
,
– точка пересечения графика функции
с осью
.
,
данное уравнение не имеет решения.
График функции не пересекается с осью
5) Найдем точки экстремума и интервалы монотонности функции.
.
,
.
Областью определения
первой производной является множество:
.
Критическими точками функции являются
точки:
и
.
Рассмотрим интервалы
;
;
.
Применим теперь достаточное условие экстремума функции. Для этого выберем внутри каждого из этих интервалов произвольную точку и определим в этой точке знак производной (см. рисунок 66).
Рисунок 66
Приходим к заключению, что в критической точке функция имеет минимум.
.
При
и
функция убывает, а при
функция возрастает.
6) Найдем точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
.
,
действительных корней уравнение не
имеет.
Вторая производная не обращается в нуль ни в одной действительной точке, значит точек перегиба у функции нет.
Областью определения второй производной является множество: .
Точка
являются критической точкой II
рода. Отметим эту точку на числовой
прямой и найдем знаки второй производной
в каждом из интервалов:
и
(см. рисунок 67).
Рисунок 67
При
,
значит график функции
выпуклая кривая на этом интервале. При
,
значит, график функции
вогнутая кривая на этом интервале.
7) Построим эскиз графика функции (рисунок 68).
Рисунок 68
Пример 8.
Исследовать функцию
и построить ее график.
Решение:
1) Найдем область определения функции:
,
.
.
2) Найдем асимптоты графика функции:
а) вертикальные.
– точка разрыва функции, исследуем поведение функции слева от точки .
,
значит – вертикальная асимптота.
– точка разрыва функции, исследуем поведение функции справа от точки .
,
значит – вертикальная асимптота.
б) невертикальные:
,
.
– горизонтальная
асимптота.
3) Исследуем функцию на четность, нечетность и периодичность.
Так как область определения функции множество, не симметричное относительно нуля, то функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая.
4) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью график функции не пересекается.
,
,
,
,
,
,
,
– точка пересечения с осью
.
5) Найдем точки экстремума и интервалы монотонности функции.
.
Первая производная не обращается в нуль ни в одной точке. Функция экстремума не имеет.
Областью определения
первой производной является множество:
.
Критическими точками функции являются
точки:
и
.
Рассмотрим интервалы
;
.
Применим теперь достаточное условие экстремума функции, для этого выберем внутри каждого из этих интервалов произвольную точку и определим в этой точке знак производной (см. рисунок 69).
Рисунок 69
Функция убывает на всей области определения.
6) Найдем точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
.
,
.
Данная точка не принадлежит области определения функции. Точек перегиба график функции не имеет.
Областью определения
второй производной является множество:
.
Точки
и
являются критическими точками II
рода. Отметим эти точки на числовой
прямой и найдем знаки второй производной
в каждом из интервалов:
и
(см. рисунок 70).
Рисунок 70
При
,
значит график функции
выпуклая кривая на этом интервале. При
,
значит график функции
вогнутая кривая на этом интервале.
7) Построим эскиз графика функции (рисунок 71).
Рисунок 71