1.3 Практическое занятие №1. Вычисление производной функции по определению и ее геометрический смысл
Упражнение 1.
Найти приращение
и отношение
для функций:
а)
при
и
;
б)
при
и
.
Решение:
а)
,
.
б)
,
.
Ответ:
а)
.
б)
.
Упражнение: 2.
Найти приращение
и
,
соответствующие изменению аргумента
от
до
для функций:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение: а)
,
.
б)
,
.
в)
,
.
Ответ: а)
,
.
б)
,
.
в)
,
.
Упражнение 3.
Найти
для функций:
а)
;
б)
.
Решение:
а)
,
.
б)
,
.
Ответ:
а)
,
,
б)
,
.
Упражнение 4: Показать, что следующие функции не имеют конечных производных в указанных точках:
а)
в точке
;
б)
в точке
.
Решение:
а) Найдем по определению
:
.
Значит
.
б) Учитывая, что
вычислим
Пределы справа и слева в точке существуют, конечны, но не равны между собой, и поэтому предела в точке не существует. Следовательно, функция не имеет производной в этой точке.
Упражнение 5: Найти производные функций в точке :
а)
,
где
;
б)
;
в)
;
г)
.
Решение: а) Воспользуемся определением производной:
.
Итак,
,
.
б)
– степенная функция (где
– действительное число).
Дадим аргументу приращение . Тогда
,
,
где
.
Здесь мы
воспользовались эквивалентностью:
,
при
.
Таким образом,
.
В частности, по этой формуле будем иметь:
;
.
в) – логарифмическая функция.
Рассмотрим
приращение функции
,
соответствующее приращению аргумента
в точке
:
.
По определению производной получим:
,
где
.
Таким образом,
.
В частности,
.
г) .
.
Итак, воспользовавшись
первым замечательным пределом и
непрерывностью функции
,
имеем:
.
Рассуждая аналогично,
получим:
.
Приведем теперь таблицу производных основных элементарных функций, причем производные некоторых из них будут найдены позже.
1)
,
где
;
2)
,
в частности
и
;
3)
,
в частности
;
4)
,
в частности
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
.
Производные функций
,
,
,
,
,
и
найдем на следующем практическом
занятии, после того как в следующей
лекции будут рассмотрены правила
дифференцирования произведения и
частного функций, а также производная
обратной функции.
Упражнение 6: В
каких точках производная функции
численно совпадает со значением самой
функции, т.е.
?
Решение:
,
значит должно выполняться равенство:
,
,
.
Ответ: При производная функции совпадает со значением самой функции.
Упражнение 7:
Найти угловой коэффициент касательной
к кривой
,
проведенной в точке с абсциссой
.
Решение:
Исходя из геометрического смысла
производной
,
где
– угловой коэффициент касательной.
Найдем производную функции,
,
значит, в точке
имеем
.
Ответ:
.
Упражнение 8.
Найти угол между кривыми
и
.
Решение:
за угол между кривыми принимают наименьший
из двух смежных углов, образуемых
касательными к кривым в точке их
пересечения. Найдем точки пересечения
кривых
и
из уравнения
,
или
.
Отсюда
;
;
.
Следовательно, точки
,
,
– точки пересечения кривых.
Вычислим угловые
коэффициенты
и
касательных к данным кривым
и
в точках их пересечения
,
,
:
,
.
В точке
имеем:
,
;
в точке
–
,
,
в точке
–
,
.
Обозначим через
,
,
углы между касательными к данным кривым
соответственно в точках
,
,
.
Если
и
– углы наклона к положительной полуоси
,
то угол между этими прямыми
.
В данном случае
,
.
Найдем
,
подставляя найденные значения
и
в формулу тангенса разности двух углов:
.
Отсюда для точек
,
,
соответственно получим:
,
,
.
Следовательно,
,
.
Ответ: , .
Упражнение 9.
Пусть закон движения летательного
аппарата по оси
имеет вид
.
Найти скорость движения
летательного аппарата в моменты времени
,
,
.
Решение:
найдем скорость движения летательного
аппарата в произвольный момент времени
:
.
Вычислим значение
скорости в заданные моменты времени:
,
,
.
Ответ:
,
,
.