2.2 Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций

Теорема 2. Пусть функция и дифференцируемы в точке . Тогда в этой точке дифференцируемы их сумма (разность) , произведение и частное , последнее при условии , причем справедливы равенства:

1) ;

2) ;

3) .

Доказательство: при доказательстве используем определение производной и теорему об арифметических свойствах пределов.

Докажем первое равенство.

Пусть . Дадим аргументу приращение . Тогда функции , и получат соответственно приращения , и

. Отсюда при

(3)

Так как функции и дифференцируемы в точке , то в этой точке существуют конечные пределы

и .

(4)

Переходя в (3) к пределу при , с учетом (4) и правила предельного перехода для суммы функций получаем, что существует конечный передел правой части (3), равный . Но тогда существует равный ему конечный предел и левой части (3), причем

.

Таким образом, в точке существует конечная производная функции , равная

.

(5)

Докажем второе равенство.

Пусть теперь , а приращению соответствуют приращения , и . Отсюда, при

.

(6)

Из дифференцируемости функции в точке следует ее непрерывность в этой точке, т.е.

(7)

В силу (4), (6), (7) и правил предельного перехода для суммы и произведения функций существует конечный предел

.

Таким образом, в точке существует конечная производная функции , равная

.

(8)

Докажем третье равенство.

Если в точке выполнено условие , то в этой точке определена функция .

Приращению соответствуют приращения , и

.

(9)

Отсюда при

.

Перейдем к пределу при . Согласно (4), (7), (9) и правилам предельного перехода для суммы и частного функций, заключаем, что существует конечный предел , т.е. в точке существует конечная производная функции , равная

.

(10)

Таким образом, все три утверждения доказаны.

2.3 Производная обратной функции

Теорема 3. Пусть функция в точке имеет конечную и отличную от нуля производную . Пусть также у этой функции существует однозначная обратная функция , непрерывная в точке . Тогда существует производная функции в точке , и она равна .

.

(11)

Доказательство: Сообщим значению приращение . Тогда функция тоже получит соответствующее приращение . Если , то и , поскольку функция однозначна. Поэтому допустимо рассматривать отношение

.

(12)

Если теперь , то и ввиду непрерывности функции . Но тогда знаменатель дроби в правой части равенства (12) при стремится к пределу . Таким образом, существует конечный предел правой части (12):

.

Следовательно, существует конечный предел и у левой части равенства (12):

.

Но этот предел по определению равен производной функции в точке :

.

Таким образом, обратная функция дифференцируема в точке и ее производная в этой точке определяется формулой (11). Что и требовалось доказать.