1.1. Лінійні операції над матрицями

В множині всіх матриць одного й того ж порядку m x n введемо поняття суми матриць.

Нехай А{a_{i j} } та В{b_{i j} } - матриці порядку m x n. Сумою матриць А і В назвемо матрицю С{c_{i j} }, елементи якої визначаються за формулою с_{i j} = а_{i j} + b_{i j} (і=1,2,...,m; j=1,2,...,n).

Наприклад, якщо А{a_{i j}}, B{b_{i j}} - матриці порядку 2 х 3, то

Наведемо числові приклади додавання матриць:

+ = ;

+ = ; + = ;

Відзначимо, що в результаті додавання довільної матриці А з нульовою матрицею  того ж порядку одержуємо матрицю А.

Добутком матриці А {a_{i j}} на дійсне число a називається матриця, яка складається з відповідних елементів матриці А, помножених на число :

.

Наведемо приклади множення матриць на дійсні числа:

.

Множення матриці на 1 не змінює її. Два останніх приклади показують, що при множенні матриці на (-1) змінюються тільки знаки елементів матриці, а при множенні матриці на нуль одержуємо нульову матрицю.

Матриця (-1) А{a_{i j}} називається протилежною матриці А{a_{i j}}. При їх додаванні одержуємо нульову матрицю.

Введені операції додавання матриць та множення матриці на дійсне число (скаляр) мають такі властивості:

А + В = В + А, ( А + В ) + С = А+ ( В + С ),

 ^. (  ^. А ) = (  ^.  ) ^. А,  ^. ( А + В ) =  А +  В, (  +  ) ^. А =  А +  А.

Перевірка цих властивостей проводиться з використанням відповідних властивостей дійсних чисел. Наприклад, перевіримо першу властивість. Матриця А + В складається з елементів вигляду a_{i j} + b_{i j} , а матриця В + А - з елементів вигляду b_{і j} + a_{i j} , які знаходяться відповідно в і - ому рядку та в j - ому стовпці (і = 1,2,...,m; j = 1,2,...,n). Оскільки а_{i j} + b_{i j} = b_{і j} + a_{i j} , то відповідні елементи цих матриць рівні; отже, А+В = В+А.

Операції додавання матриць і множення матриці на дійсне число прийнято називати лінійними операціями. Наведемо приклади виконання лінійних операцій над матрицями:

2 + (-5) = + = ;

.

1.2. Приклади для самостійної роботи

Виконати вказані операції з матрицями:

1.3. Множення матриць

Матрицю А{a_{i j}} можна помножити на матрицю B{b_{i j}} тоді, коли кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.

Добутком матриць А і В називається така матриця C {c_{i j}}, елементи якої знаходять за формулами:

с_{i j} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + ... + a_{i n} b_{n j} = , і = 1,2,...,m; j = 1,2,...,p.

Одержана матриця С позначається АВ. Вона має стільки рядків, скільки перший множник (матриця А), і стільки ж стовпців, скільки їх має другий множник (матриця В); її порядок m x p.

Наведемо приклади множення матриць:

1)

c _{1 1} = 3 ^. 1 + 4 ^. (-2) + 5 ^. 2 = 5, c _{1 2} = 3 ^. 0 + 4 ^. 1 + 5 ^. 4 = 24,

c _{2 1} = -1 ^. 1 + 0 ^. (-2) - 6 ^. 2 = -13, c _{2 2} = -1 ^. 0 + 0 ^. 1 - 6 ^. 4 = -24;

2)

c _{1 1} = 2 ^. 1 + 0 + 0 = 2, c _{1 2} = 0 + (-1) ^. 1 + 0 = -1, c _{1 3} = 2 ^. 0 +(-1) ^. 0 + 3 ^. 1 = 3,

c _{2 1} = 0 + 0 + 0 = 0, c _{2 2} = 0 + 1 + 0 = 1, c _{2 3} = 0 + 0 + 2 ^. 1 = 2,

c _{3 1} = 3 ^. 1 + 0 + 0= 3, c _{3 2} = 0 + 5 ^. 1 + 0 = 5, c _{3 3} = 0 + 0 + 4 = 4.

3)

4)

C _{1 1} = 4 + 0 - 4 = 0, C _{1 2} = 2 - 3 + 1 = 0, C _{1 3} = 6 + 6 -1 = 11,

C _{2 1} = 0 + 0 + 4 = 4, C _{2 2} = 0 - 2 -1 = -3, C _{2 3} = 0 + 4 + 1 = 5,

C _{3 1} = 8 + 0 + 0 = 8, C _{3 2} = 4 - 3 + 0 = 1, C _{2 3} = 12 + 6 +0 = 18,

C _{4 1} = -2 + 0 - 20 = -22, C _{4 2} = -1 - 2 + 5 = 2, C _{4 3} = -3 + 4 - 5 = -4.

5)

З прикладу 2 видно, що в результаті множення матриці А на одиничну матрицю відповідного порядку одержуємо матрицю А. Останній приклад показує, що навіть для квадратних матриць АВВА. Однак, одинична і нульова матриці порядку n перестановочні з будь-якою матрицею порядку n:

АЕ = ЕА = А,  А = А =  .

Введена операція множення матриць має такі властивості:

( АВ )С = А( ВС ); А( В + С ) = АВ + ВС;

(  А )В = А (  В ) =  ( А В ).

Перевірка цих властивостей проводиться безпосереднім обчисленням елементів матриці, які стоять у лівій та правій частинах рівності, та їх порівнянням [ 1 ].

Наведемо приклад застосування множення матриць у прикладній задачі.

Завод випускає 4 види продукції в кількості, яка характеризується матрицею-рядком A (10, 2, 3, 5). Для її виготовлення використовується 6 видів сировини. Відомі

а) матриця

де b_{i j} - кількість затрачуваних одиниць j-го виду сировини на одну одиницю і - го виду продукції;

б) матриця

перший стовпець якої задає вартість однієї одиниці кожного виду сировини, а другий стовпець - вартість перевезення одиниці кожного виду сировини. Знайти вартість сировини (а також вартість її перевезення), що витрачається на одиницю кожного виду продукції, та сумарну вартість сировини (і її перевезення), необхідної для виконання плану.

Розв’язування. Добутком матриць В та С є матриця

в якій підрахована вартість сировини (перший стовпець) та її перевезення (другий стовпець) в розрахунку на одиницю кожного з чотирьох видів продукції.

Сумарна вартість сировини та вартість її перевезення визначаються відповідно елементами матриці А ( В С ) = ( 3413, 1452 ).