1.6. Приклади для самостійної роботи
Обчислити визначники:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Обернена матриця
Квадратна матриця В називається оберненою до квадратної матриці А, якщо А.В = В.А = Е. Обернена матриця позначається символом А-1.
Теорема 1. Якщо обернена матриця існує, то вона єдина.
Дійсно, якщо є дві обернені матриці А-1 і А1 до матриці А, то тоді з рівностей A-1 = A-1E = A-1 (A.A1) = (A-1.A ) .A1 = E.A1 = A1 виходить, що А-1 = A1.
Матрицю А { a i j } порядку n називають невиродженою, якщоА0.
Теорема 2. Для того, щоб матриця А мала обернену А-1, необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженою.
Обернена до невиродженої матриці має вигляд
,
де А i j - алгебраїчне доповнення елемента a i j матриці А. Крім того, із рівностей A A-1= A A-1=E= 1 випливає, що A-1 = A-1
Наведемо приклади знаходження обернених матриць:
Приклад
1.
,
A=
-2 .
6
+ 3 .
5
= -12 + 15 = 3,
A 1 1 = (-1) 1+1 . 6 = 6, A 1 2 = (-1) 1+2 . 5 = - 5,
A 2 1 = (-1) 2+1 . (-3) = 3, A 2 2 = (-1) 2+2 . (-2) = - 2,
.
Перевірка:
,
.
Приклад
2. 
, 
=2(2-20) + 12 + 3 . 3 = -36 + 12 +9 = -15,
, 
,
,
,
, 
, 
, 
,
;
.
Перевірка:
,
.
Поняття оберненої матриці дозволяє ввести для невироджених квадратних матриць операцію, обернену операції множення.
Нехай А - невироджена матриця порядку n, В та С - матриці порядку nm, D та F - матриці порядку rn. Якщо A.В = С, а D.A = F, то B = A-1 A.B = A-1 C i D = D.A .A-1 = F.A-1, що дозволяє знаходити матриці В та D.
Таким чином, оберненою до операції множення невиродженої квадратної матриці А на матрицю В відповідного порядку зліва (справа) є множення оберненої матриці А-1 зліва (справа) на матрицю АВ (ВА).
Наведемо приклади розв’язування матричних рівнянь:
Приклад
1. Знайти
матрицю Х=
,
яка задовольняє рівняння
.
Розв’язування.
Спочатку визначимо обернену матрицю
до матриці
.
Маємо
,
А 1 1
= 4, А 1 2
= -1, А 2 1
= -5, А 2 2
= 2, тоді
.
Далі
знаходимо
Х
.
Перевірка:
.
Приклад 2. З заданого рівняння
знайти невідому матрицю.
Розв’язування.
Визначимо спочатку обернену матрицю
до матриці
.
Маємо
А11 = 5 - 6 = -1; А12 = -20; А13 = 8;
А21 = 4; А 22 = 5; А23 = -2;
А31 = -2; А 32 = 5; А 33 = 1.
.
Далі
одержуємо Х
.
Перевірка:
.
1.8. Приклади для самостійної роботи
Знайти обернену матрицю до заданої матриці А:
; 
; 
;
;
; 
;
; 
;
;
; 
; 
;
; 
; 
;
;
; 
;
; 
;
;
; 
; 
;
; 
; 
;
;
; 
;
; 
.
Знайти невідому матрицю, яка задовольняє матричне рівняння:
; 
;
1.9. Ранг матриці
Нехай задана прямокутна матриця А { a i j } порядку mn. Зафіксуємо в ній k рядків та k стовпців, де k не перебільшує найменшого з чисел m, n. Елементи, які знаходяться на перетині виділених рядків та стовпців, утворюють квадратну матрицю порядку k. Її визначник називається мінором k-го порядку матриці А; він може дорівнювати нулю або бути відмінним від нуля.
Якщо серед елементів матриці А є відмінні від нуля, то завжди знайдеться таке натуральне число r, що серед мінорів r-го порядку знайдеться хоч один, який не дорівнює нулю, а всі мінори порядку r+1 та вище (якщо вони існують) дорівнюють нулю. Число r, яке має вказані властивості, називається рангом матриці А і позначається символом r (A)=r.
Ранг нульової матриці довільного порядку за визначенням дорівнює нулю. Відмінний від нуля мінор r-го порядку матриці А, ранг якої дорівнює r, називається її базисним мінором. В матриці А може бути декілька базисних мінорів, але всі вони мають один і той же порядок r (1 r min (m,n)). Стовпці (рядки), на яких знаходиться базисний мінор, називаються базисними.
Дві матриці одного й того ж порядку А та В називаються еквівалентними (А В), якщо r (A) = r (B).
Далі вводиться поняття лінійної залежності стовпців (рядків) матриці. Позначимо через А ( j ) , j = 1, 2, ..., n; А i , i = 1, 2, ..., m відповідно стовпці та рядки матриці А порядку mn; 1, 2, ..., r - набір r дійсних чисел.
Вирази 1А(1) + 2А(2) +...+ rA(r) та 1А1 + 2А2 +...+ rAr називаються лінійними комбінаціями відповідно стовпців та рядків.
r стовпців (рядків) матриці А називаються лінійно залежними, якщо існують r чисел i, i=1,2,...,r, які одночасно не дорівнюють нулю і такі, що 1А(1)+2А(2)+...+nA(n) = (1А1+2А2+...+nAn= ).
Якщо ніяка лінійна комбінація стовпців (рядків), окрім при 1= 2 =...= n=0, не дорівнює нульовому стовпцю (рядку), то такі стовпці (рядки) називаються лінійно незалежними.
Теорема 1. Число лінійно незалежних рядків довільної матриці дорівнює числу лінійно незалежних стовпців цієї матриці та дорівнює рангові матриці.
Зі сформульованої теореми виходить, що будь-які r+1 стовпців (рядків) матриці А, яка має ранг r, лінійно залежні, і, якщо в матриці вибрані r базисних стовпців (рядків), то будь-який стовпець (рядок) матриці є лінійною комбінацією вибраних стовпців (рядків).
Використовуючи цю властивість базисних стовпців (рядків) та властивості визначників, можна довести, що наступні операції зі стовпцями (рядками) матриці не змінюють її рангу, тобто перетворюють матрицю А в еквівалентну їй матрицю А1 (АА1):
а) перестановка стовпців (рядків) матриці місцями;
б) множення всіх елементів будь-якого стовпця (рядка) на одне й те ж число, яке не дорівнює нулю;
в) додавання до одного стовпця (рядка) другого стовпця (рядка).
При обчисленні рангу матриці А її перетворюють за допомогою перелічених операцій в еквівалентну матрицю з найбільшою кількістю нульових елементів, що полегшує знаходження рангу.
Наприклад, визначимо ранг матриці
А
=
.
Помножимо спочатку перший стовпець на -2 та додамо до третього стовпця, а потім помножимо перший рядок на -2 та додамо до четвертого рядка. Маємо
А
.
Віднімемо від третього рядка перший і одержимо
А
Одержана матриця має ранг 3, оскільки мінор 3-го порядку
=
-6
0,
а визначник цієї матриці (4-го порядку) дорівнює нулю, бо має стовпець, який складається з нулів.
Далі наведемо один з методів знаходження рангу матриці.
Нехай матриця А{a i j} порядку mn має елементи, відмінні від нуля (інакше її ранг дорівнює нулю). Тоді зробимо так:
1-й крок
а)
якщо а11
= 0, тоді, переставляючи рядки та стовпці,
переведемо один з елементів, відмінних
від нуля, на місце елемента а11.
Позначимо елементи одержаної матриці
.
б)
якщо
,
тоді, застосувавши яку-небудь із операцій,
що не змінюють рангу матриці, зробимо
елемент, який стоїть у першому рядку та
першому стовпці, рівним 1.
в)
всі елементи 1-го стовпця, крім першого,
зробимо рівними нулю,
віднімаючи від кожного i-ого рядка перший
рядок, помножений на елемент
,
і = 2, 3, ..., m.
В результаті одержимо матрицю вигляду
Якщо всі елементи b i j , i = 2, 3, ..., m; j = 2, ..., n дорівнюють нулю, то ранг матриці А дорівнює 1. Якщо серед указаних елементів є відмінні від нуля, то перейдемо до наступного кроку, домовившись при цьому далі не переставляти 1-й рядок та 1-й стовпець матриці.
2-й крок
а)
якщо
= 0, то, переставляючи рядки та стовпці
місцями, поставимо один з елементів,
відмінних від нуля, на місце елемента
.
Позначимо елементи,
одержаної таким чином матриці,
через
;
б)
якщо
,
то, використовуючи яку-небудь з операцій,
що не змінюють рангу матриці, зробимо
елемент, що стоїть на місці
, рівним 1;
в) всі елементи 2-го стовпця, які знаходяться нижче елемента , зробимо рівними нулю, так, як це було зроблено на 1-му кроці. В результаті одержимо матрицю вигляду
де с 1 j = b 1 j , j = 2, 3, ..., n.
Якщо всі елементи с i j (i = 3, 4, ..., m; j = 3, 4, ..., n) дорівнюють нулю, то ранг матриці А дорівнює 2.
При наявності елементів сi j , відмінних від нуля, повторюємо перетворення, аналогічні попереднім, але вже в 3-му рядку; при цьому не змінюючи перші два стовпці та два рядки.
Продовжуючи цей процес, одержимо на r-му кроці одну з матриць вигляду
В цьому випадку ранг матриці дорівнює r.
Наведемо приклад обчислення рангу матриці
А
=
описаним методом.
1-й крок:
а) переставивши 1-й та 2-й рядки, одержимо
А
;
б) помножимо 1-й рядок на 3 та додамо до 3-го рядка, тоді
А
;
в) помножимо 1-й рядок на 2 та додамо до 4-го рядка, одержимо
А
.
2-й крок:
а) винесемо множники елементів 2-го рядка та 4-го рядка і переставимо ці рядки, тоді
А
;
б) помножимо 2-й рядок на -7 та додамо його до 3-го рядка, маємо
А
.
Оскільки визначник
= -3
0, то ранг матриці А дорівнює 3.