2.1.4. Базисні розв ’язки однорідної системи лінійних рівнянь та їх використання для знаходження загального розв ’язку неоднорідної системи

Нехай задана однорідна система (2.3) лінійних алгебраїчних рівнянь, яка методом Гаусса приводиться до еквівалентної системи (2.9), де b_i = 0, i = 1, 2, ..., m. Спочатку покладаємо x_k+1=1, а всі інші невідомі, які знаходяться в правих частинах рівнянь системи (2.9), нехай дорівнюють нулю. Потім послідовно з системи (2.9) визначимо розв’язок:

X1 (1) , x2 (1) , ..., xn (1) системи (2.3).

Далі, нехай якесь інше невідоме з тих, що знаходяться в правій частині рівнянь системи (2.9), дорівнює 1, а решта дорівнюють 0. Знаходимо другий розв’язок системи (2.3):

x₁ ⁽²⁾ , x₂ ⁽²⁾ , ..., x_n ⁽²⁾.

Продовжуючи обчислення, одержимо при x_k+1=0, ..., x_n=1 (n-r)-ий розв’язок системи (2.3):

x₁ ^(n-r) , x₂ ^(n-r) , ..., x_n ^(n-r).

Знайдені n-r розв’язків називаються базисними розв’язками однорідної системи (2.3). Кожний розв’язок однорідної системи можна одержати у вигляді лінійної комбінації базисних розв’язків:

.

Якщо задана неоднорідна система (2.1) лінійних алгебраїчних рівнянь, що приводиться до еквівалентної системи (2.9), то її загальний розв’язок можна знайти в такий спосіб. Спочатку покладаємо невідомі x_k+1, ..., x_n, які стоять в правих частинах рівнянь системи (2.9), рівними нулю і знаходимо один її розв’язок

x₁ ⁽⁰⁾ , x₂ ⁽⁰⁾ , ..., x_n ⁽⁰⁾ . (2.11)

Загальний розв’язок неоднорідної системи рівнянь знаходиться за допомогою знайденого розв’язку (2.11) та базисних розв’язків відповідної однорідної системи (одержаної при b_i = 0) за формулою:

.

Розглянемо приклади дослідження на сумісність та розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

Приклад 1. Дослідити систему на сумісність:

Розв’язування. Запишемо розширену матрицю А₁ даної системи, відокремлюючи вертикальною рискою стовпець з вільних членів:

.

За допомогою операцій над рядками приводимо розширену матрицю до ступінчастого вигляду:

Наведена послідовність операцій, що не змінюють рангу матриці, виконана в чотири етапи:

1) переставлені перший і другий рядки;

2) до другого та третього рядків доданий перший рядок, помножений відповідно на числа -2 та -3;

3) до третього рядка доданий другий рядок, помножений на -1;

4) елементи одержаних другого та третього рядків поділені відповідно на

-7 та -3.

Одержана матриця, яка еквівалентна розширеній матриці А₁, має ранг, рівний 3; а матриця, яка еквівалентна основній матриці А, має ранг 2. Отже, система несумісна.

Приклад 2. Дослідити систему рівнянь на сумісність та розв’язати її, якщо вона сумісна:

(2.12)

Розв^‘язування. Запишемо розширену матрицю цієї системи рівнянь

та приведемо її до ступінчастого вигляду. Спочатку переставимо перший та другий рядки місцями, потім додамо новий перший рядок, помножений на числа

-2, -1, -2, -1, відповідно до нового другого, третього, четвертого та п^’ятого рядків:

.

Далі, помноживши одержаний другий рядок послідовно на числа 3, 2, -1 та додавши відповідно до третього, четвертого і п^’ятого рядків, одержуємо

.

Розділимо третій рядок на -2, а потім додамо його до четвертого рядка. Маємо

. (2.13)

Основна матриця перетворена в еквівалентну їй матрицю, ранг якої дорівнює 4. Останній рядок одержаної матриці (2.13) складається з нулів. Це значить, що ранг розширеної матриці не може бути більше чотирьох, тобто він дорівнює рангу основної матриці системи (2.12).

За одержаною матрицєю (2.13) складаємо відповідну систему рівнянь, еквівалентну початковій системі (2.12):

Одне рівняння має вигляд 0 = 0. Це означає, що п^’яте рівняння системи (2.12) є наслідком перших чотирьох рівнянь.

Для знаходження розв^‘язку системи виконаємо зворотний хід Гаусса: спочатку з останнього рівняння одержаної системи знаходимо x₄ = -17/(-17) = 1, потім, підставляючи значення x₄ в третє рівняння, одержимо значення невідомого x₃:

x₃ - 10 ^. 1 = -9; x₃ = 10 - 9 = 1.

Підставляючи в друге рівняння знайдені значення x₃ та x₄, визначимо значення невідомого x₂:

x₂ + 5 ^.1 + 2^.1 = 8, x₂ = 8 - 5 - 2 = 1.

Використовуючи знайдені значення невідомих x₂, x₃, x₄, з першого рівняння знаходимо значення невідомого x₁:

x₁ - 2^.1 + 4^.1 + 3^.1 = 6 , x₁ = 6 + 2 - 4 - 3 = 1.

Таким чином, x₁ = 1, x₂ = 1, x₃ = 1, x₄ = 1 - єдиний розв^‘язок системи (2.12).

Приклад 3. Розв^‘язати систему рівнянь:

(2.14)

Розв^‘язування. Запишемо розширену матрицю, відокремлюючи вертикальною рискою стовпець з вільних членів, і приведемо її до ступінчастого вигляду за допомогою операцій над рядками, що не змінюють рангу матриці:

. (2.15)

Число ненульових рядків перетвореної матриці ступінчастого вигляду дорівнює 2. Ранги основної та розширеної матриць збігаються (r (A) = r (A₁) = 2). Отже, система рівнянь (2.14) сумісна.

За матрицею (2.15) складаємо відповідну систему рівнянь, еквівалентну системі (2.14):

(2.16)

Число невідомих у цій системі більше ніж число рівнянь. Невідомі x₁ та x₂, при яких коефіцієнти складають стовпці базисного мінору основної матриці, залишаємо в лівих частинах рівнянь системи (2.16), а невідомі x₃ та x₄ переносимо в праві частини. Одержуємо

Підставляючи в перше рівняння системи значення x₂ = 3, виразимо x₁ через невідомі x₃ та x₄:

x₁ = -3 + 1 - 2 x₃ + x₄ = -2 - 2 x₃ + x₄.

Нехай x₃ = С₁, x₄ = С₂, де С₁, С₂ - довільні дійсні числа, тоді x₁ = -2 - 2С₁ + С₂. В той же час x₂ = 3. Таким чином, одержуємо множину всіх розв^‘язків системи (2.14):

x₁ = -2 - 2С₁ + С₂, x₂ = 3, x₃ = С₁, x₄ = С₂.