1.10. Приклади для самостійної роботи

Обчислити ранг матриці:

; ; ; ; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; .

Глава 2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Сукупність рівнянь вигляду

, (2.1)

де а_ij , b_ij (i = 1, 2, ..., m ; j = 1,2, ..., n) - деякі дійсні числа, x₁, x_{2,..., xn - невідомі, називається системою m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими.}

_{Кожну систему лінійних алгебраїчних рівнянь можна записати в матричному вигляді :}

, (2.2)

_{або А}^._{Х = В, де А {aij} - матриця коефіцієнтів, Х {xj} - матриця - стовпець невідомих, В{bi} - матриця - стовпець вільних членів.}

_{Розв’язком системи (2.1) називається впорядкований набір дійсних чисел , підстановка яких в рівняння системи (2.1) перетворює ці рівняння в правильні числові рівності.}

_{Система, яка має хоч один розв’язок, називається сумісною. Прикладом сумісної системи є система лінійних однорідних рівнянь}

, (2.3)

бо вона має нульовий розв'язок_.

_{Несумісною є система , бо ні за яких значень невідомих х1 та х2 їх сума не може бути одночасно рівною двом і трьом.}

_{Сумісну систему називають визначеною, якщо вона має один розв’язок, та невизначеною, якщо розв’язків нескінченна множина.}

_{Розв’язати систему - це означає знайти всі її розв’язки.}

_{Дві системи лінійних рівнянь, які мають одні й ті ж невідомі, називаються рівносильними, якщо множини їх розв’язків збігаються.}

2.1. Методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь

_{Нехай задана система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими (2.1). Для цієї системи визначимо основну матрицю А {aij} (i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n) та розширену матрицю}

_{Сформулюємо теорему про сумісність системи лінійних рівнянь.}

_{Теорема Кронекера - Капеллі. Система (2.1) сумісна тоді й тільки тоді, коли ранг розширеної матриці цієї системи дорівнює рангу основної матриці.}

_{З цієї теореми, зокрема, випливає, що система n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має єдиний розв’язок тоді й тільки тоді, коли її основна матриця А невироджена, тобто А0.}

_{Далі розглянемо основні методи розв’язування системи лінійних рівнянь}

(2.4)

_{за умови, що А0.}

2.1.1. Метод Крамера.

_{Позначимо через Аj матрицю, одержану з основної матриці А заміною j-го стовпця матриці А стовпцем, елементами якого є вільні члени {bi}, i=1, 2, ..., n. Нехай А0, j = Аj, тоді розв’язок системи (2.4) знайдемо за формулами}

_{, j = 1, 2, ..., n .}

_{Якщо всі вільні члени bi=0, а 0, то ця система має єдиний нульовий розв’язок (хj = 0, j = 1, 2,..., n), бо в цьому випадку j =0 для всіх j = 1, 2,..., n.}

2.1.2.Матричний метод.

Запишемо систему (2.4) у матричному вигляді: А ^. Х =В,

де , X= , B= .

Оскільки за умовою основна матриця невироджена (_{А0), то вона має обернену А}^-1_{. Помножимо матрицю А}^-1 _{на ліву та праву частини матричної рівності, одержимо}

_{Х = А}^-1. _В

_{Матриці А та В задані, правило знаходження оберненої матриці А}^-1 _{відоме, отже, елементи хj (j = 1, 2,..., n) матриці X (розв’язок системи (2.4)) визначаються однозначно.}

_{2.1.3. Метод Гаусса. Розглянемо розширену матрицю системи (2.4)}

,

_{Ранг матриці А1, як і ранг основної матриці А, дорівнює n. Отже, за допомогою елементарних перетворень, застосованих до рядків матриці А1, вона зводиться до матриці}

.

_{Замість системи (2.4) розглянемо еквівалентну їй систему рівнянь}

.

_{З цієї системи послідовно знаходимо розв’язок :}

_{Розглянемо приклад розв’язування системи рівнянь}

(2.5)

_{описаними методами.}

_{1. Обчислимо визначник основної матриці:}

=2(-6+4)+(-9+4)+(3-2)= -8.

_{Оскільки 0, то для знаходження розв’язку системи (2.5) можна застосувати формули Крамера.}

_{Обчислимо визначники  :}

= -6+4+(-9-0)+3-0= -8,

=2(-9-0)-(-9+4)+(0-3)= -16,

=2(0-3)+(0-3)+(3-2)= -8

_{Остаточно одержуємо розв’язок системи :}

, , .

_{Перевірка :}

₂^._{1-2+1=1, 1=1, 3}^.₁₊₂^._{2 - 4}^._{1=3, 3=3, 1+2 - 3}^._{1=0, 0 = 0.}

_{Відповідь: х1 = 1, х2 = 2, х3 = 1.}

_{2. Запишемо систему рівнянь (2.5) в матричному вигляді}

.

_{Через те, що основна матриця А системи невироджена, вона має обернену матрицю А}^-1_{. Знаходимо алгебраїчні доповнення до елементів цієї матриці:}

, ,

; ,

, ;

, , .

_{Таким чином, маємо}

.

_{Помноживши матрицю А}^-1 _{на матрицю В, складену з вільних членів, знаходимо розв’язок системи :}

.

_{В результаті маємо x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1, що збігається з одержаним за допомогою правила Крамера розв’язком системи.}

_{3. Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою операцій, що не змінюють її рангу, приведемо до ступінчастого вигляду :}

       .

_{Наведена послідовність операцій над рядками та стовпцями виконана у таких шість етапів:}

_{1) переставлені перший та третій рядки;}

_{2) до другого рядка доданий перший рядок, помножений на -3;}

_{3) до третього рядка доданий перший рядок, помножений на -2;}

_{4) другий рядок помножений на -1;}

_{5) до третього рядка доданий другий рядок, помножений на 3;}

_{6) останній рядок поділений на 8.}

_{Матриці, одержаній після застосування цих операцій, відповідає система рівнянь:}

, (2.6)

_{яка еквівалентна заданій системі (2.5). Система (2.6) одержана з системи (2.5) позбавленням від невідомого х1 в другому рівнянні та від невідомих х1, х2 в першому рівнянні. Для знаходження розв’язку системи (2.6) значення невідомого х3 = 1 підставимо в друге рівняння цієї системи і одержимо значення невідомого х2 :}

_{х2 - 5}^._{1= -3; х2= -3+5=2 .}

Потім, підставляючи знайдені значення х₃=1 та _{х2=2 в перше рівняння системи, визначимо значення невідомого х1:}

_х1+2-3^._{1= 0; х1= -2+3=1.}

Метод Гаусса, який дозволяє досліджувати систему на сумісність, визначеність, а також знаходити всі розв'язки сумісної системи, можна застосувати для довільної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, включаючи випадки, коли mn та m=n, =0.

Нехай задана система m лінійних рівнянь з n невідомими (m  n або m  n):

. (2.1)

Розглянемо розширену матрицю системи

,

в якій перші n стовпців складають основну матрицю А системи.

За допомогою операцій, застосованих до рядків матриці А₁, приводимо її до еквівалентної матриці ступінчастого вигляду:

(2.7)

1. Якщо хоч одне з чисел b*_i 0 для i  r, то ранг основної матриці не дорівнює рангу розширеної матриці і система несумісна.

2. Нехай b*_r+1=b*_r+2 = ... = b*_m = 0, тоді ранги основної та розширеної матриць рівні, отже, система сумісна. При цьому можливі два випадки:

а) r (A) = r (A₁) = n, тобто ранги матриць дорівнюють числу невідомих. Тоді система рівнянь (еквівалентна початковій системі), яка відповідає матриці (2.7), записується в такому вигляді:

Обчисливши послідовно значення невідомих x_n , x_n-1, ..., x₁, з цієї системи рівнянь знаходимо розв’язок системи (2.1), який є єдиним;

б) r (A) = r (A₁) = r  n, тобто ранги матриць менші числа невідомих. В цьому випадку матриці (2.7) відповідає така система r рівнянь з n невідомими:

(2.8)

Залишимо у лівій частині рівнянь одержаної системи r невідомих x_k, x_s, ..., x_t, коефіцієнти яких відповідають стовпцям базисного мінору матриці А. Всі інші невідомі переносимо в праву частину цих рівнянь. Тоді система (2.8) набуде вигляду:

(2.9)

Надамо n - r невідомим, які стоять в правих частинах рівнянь системи, довільні значення C₁, C₂, ..., C_n-r. Інші r невідомих послідовно знаходимо з системи (2.9), виразивши їх через C₁, C₂, ..., C_n-r. Оскільки набір C₁, C₂, ..., C_n-r можна вибрати нескінченним числом способів, то одержимо нескінченну множину розв’язків системи (2.1), записаних як

x_j =  (C₁, C₂, ..., C_n-r), j = 1, 2, ..., n. (2.10)