1.4. Приклади для самостійної роботи

; ; ;

; .

1.5. Визначники квадратних матриць та їх властивості

Нехай А {a _{i j}} (i=1, 2; j=1, 2) - матриця 2 - го порядку . Поставимо у відповідність кожній такій матриці число, одержане за допомогою її елементів: а₁₁а₂₂ - а₁₂а₂₁. Це число називають визначником 2 - го порядку матриці А і позначають символом .

Далі, нехай А {a _{i j}} (i=1, 2, 3; J=1, 2, 3) - матриця 3 - го порядку

Зафіксувавши елемент а_{i j} цієї матриці та закресливши і -ий рядок і j -ий стовпець, одержимо матрицю другого порядку. Визначник одержаної матриці назвемо мінором до елемента а_{і j}. Оскільки елементів у матриці третього порядку дев^,ять, то одержуємо дев^,ять мінорів М_{і j} (і = 1,2,3; j = 1,2,3). Помноживши кожний мінор М_{i j} на (-1)^i+j, одержуємо число А_{i j} = (-1) ^i+j M_{i j} , яке називають алгебраїчним доповненням до елемента а_{і j} матриці А.

Визначником 3 - го порядку матриці А називається число, знайдене за формулою а₁₁А₁₁ + а₁₂А₁₂ + а₁₃А₁₃ , яке позначається

За допомогою визначника 3 - го порядку для усякої матриці А{a_{i j}} 4-го порядку аналогічним чином вводиться поняття мінору 3-го порядку М_{i j} та алгебраїчного доповнення А_іj = (-1)^i+j M_{i j}(і = 1,2,3,4; j=1,2,3,4) до відповідного елемента а_{і j} матриці А{a_{i j}}. Потім вводимо для матриці А{a_{i j}} 4 - го порядку число, назване визначником 4 - го порядку

Продовжуючи цей процес для матриць 5-го, 6-го і до n-го порядку, приходимо до поняття визначника n-го порядку А для квадратної матриці А{a_{i j}} порядку n, обчисленого за формулою

,

де (k=1,2,...,n) – елементи першого рядка матриці А, A_1k=(-1)^1+k M_1k, M_1k, - мінори до елементів першого рядка матриці. Наведемо приклади обчислення визначників:

; ;

; ; ;

=-2(9+28-4)+(-14+30+24)-3(-1+6+12)=-2^.33+40-51=-77.

Далі перелічимо властивості визначників, які спрощують їх обчислення та використовуються при розв’язуванні різних задач з використанням матриць. Для формулювання першої властивості буде потрібне поняття транспонованої матриці.

Нехай А - матриця порядку n. Матрицю А', у якої всі рядки замінені відповідними стовпцями, називають транспонованою до матриці А.

1. Визначник транспонованої матриці А' дорівнює визначнику початкової матриці А.

Ця властивість свідчить про рівноправність рядків та стовпців.

2. Якщо матриця має два однакових рядки (стовпці), то її визначник дорівнює нулю.

3. Якщо в матриці А переставити місцями два рядки (стовпці), то визначник нової матриці буде дорівнювати -А.

4. Для всякої матриці А порядку n

для i=1,2, ... ,n; для j=1,2, ... ,n; а при i  j .

Сформульована властивість дозволяє обчислити визначник, використовуючи елементи та їх алгебраїчні доповнення будь-якого його фіксованого рядка (стовпця).

5. Для усякого дійсного числа  сума

a_i1 A _i1+a_i2 A _i2+ ... +a_{i n} A _{i n} = А, отже, А= ⁿА.

6. Якщо який-небудь рядок (стовпець) квадратної матриці складається з нулів, то визначник цієї матриці дорівнює нулю.

7. Для усякої матриці А{a _{i j} } порядку n, елементи i-го рядка якої подані у вигляді суми , j=1,2, ... , n, має місце рівність

.

8. Хоч для довільних матриць А {a _{i j} } та В {b _{i j} } порядку n перестановочний закон не виконується, однак АB=АB=BА=BА.

З формули для обчислення визначників та першої сформульованої властивості випливає, що визначник трикутної матриці будь-якого порядку n дорівнює добутку діагональних елементів, а визначник матриці Е дорівнює одиниці.

Наведемо приклади обчислення визначників з використанням їх властивостей:

а) (125)^{2 .}(10-10)=0;

б) ;

в)

;

г) .