Властивості збіжних числових рядів

1. Якщо збігається і має суму S, то ряд , де с – стале число, також збігається і його сума дорівнює сS.

2. Якщо ряд та збігаються і мають суми S₁ та S₂ відповідно, то ряд, отриманий почленним додаванням (відніманням) також збігається і має суму S = S₁  S₂.

3. Якщо збігається ряд , то і його залишок також збігається.

З властивості 3 випливає, що на збіжність ряду не впливає відкидання довільної скінченної кількості його перших членів.

Необхідна ознака збіжності ряду :

Якщо для заданого ряду ця умова не виконується, то цей ряд розбіжний.

• Приклад. Дослідити збіжність рядів

а) ; б) .

Розв’язання.

У випадку ряду а) маємо:

Тому необхідна умова збіжності цього ряду виконується, але цей ряд розбіжний, оскільки

У випадку ряду б) маємо:

Отже, необхідна умова збіжності не виконується, тому ряд б) розбіжний.

4.2 Достатні ознаки збіжності додатних числових рядів

4.2.1 Порівняльні ознаки

Перша ознака порівняння. Нехай треба дослідити збіжність ряду

. (4.3)

Візьмемо відомий збіжний числовий ряд

. (4.4)

Якщо члени (4.3) не перевищують відповідних членів ряду (4.4):

a₁  b₁; a₂  b₂; a₃  b₃;…; a_n  b_n;…

тоді ряд (4.3) збігається і його сума не перевищує суму ряду (4.4).

Друга ознака порівняння. Нехай треба дослідити збіжність ряду (4.3). Візьмемо відомий розбіжний числовий ряд

(4.5)

Якщо члени ряду (4.3) не менше відповфдних членів ряду (4.5):

a₁  b₁; a₂  b₂; a₃  b₃;…; a_n  b_n;…,

то і ряд (4.3) розбіжний.

• Приклад. Дослідити збіжність ряду

Розв’язання. Розглянемо допоміжний ряд

який є рядом геометричної прогресії із знаменником і тому збіжний. Оскільки члени заданого ряду не перевищують відповідних членів допоміжного ряду (їх знаменники більші), то за першою ознакою порівняння заданий ряд також збігається.

4.2.2 Ознака Даламбера

Якщо для додатного числового ряду існує

, (4.6)

то при D<1 ряд збігається, а при D<1 ряд розбігається.

• Зауваження 1. Якщо стала Даламбера D=1, то за цією ознакою неможливо визначити збіжності або розбіжності ряду.

• Зауваження 2. Ознака Даламбера використовується часто, особливо вона ефективна у випадках, коли загальний член ряду містить

n! = 1 x 2 x 3 x…x n.

• Приклад. Дослідити збіжність рядів:

а) б)

Розв’язання. Застосуємо до кожного ряду ознаку Даламбера.

а)

Отже, ряд а) розбігається.

Отже, ряд б) збіжний.