Властивості правильно збіжних функціональних рядів

1. Якщо члени правильно збіжного в проміжку (a, b) функціонального ряду неперервні, тоді його сума також неперервна функція в (a, b).

• Наслідок. Якщо сума функціонального ряду в деякому проміжку (c, d) розривна, то ряд в цьому проміжку буде немажорованим.

• Зауваження

• Існують функціональні ряди, які не мажоровані в проміжку, але збігаються в цьому проміжку до неперервної функції (наприклад, рівномірно збіжний в проміжку ряд неперервних функцій).

• Якщо члени правильно збіжного в проміжку (a, b) функціонального ряду

неперервні в цьому проміжку, то ряд можна почленно інтегрувати, причому для довільних має місце рівність

(5.2)

• Нехай ряд - правильно збіжний в (a, b) і його члени мають неперервні похідні (n = 1, 2, 3,...). Тоді для усіх має місце рівність

, (5.3)

тобто можна диференціювати під знаком суми.

• Якщо правильно збіжний ряд в (a, b) функціональний ряд помножити на обмежену в (a, b) функцію φ(х), то одержаний ряд буде правильно збіжним в (a, b).

Різновиди збіжності функціональних рядів

• Означення 4. Функціональний ряд збігається до суми S(x) рівномірно в , якщо

при n→∞.

Функціональний ряд збігається до суми S(x) в середньому на проміжку , якщо

при n→∞.

Функціональний ряд збігається до суми S(x) на в середньому квадратичному, якщо

при n→∞.

• Зауваження 2. Якщо функціональний ряд збігається рівномірно на , то він збігається і в середньому квадратичному, причому до однакової суми S(x).

Ознака Вейєрштрасса. Для рівномірної збіжності функціонального ряду достатньо його правильної збіжності.

5.2 Степеневі ряди

• Означення 5. Степеневим рядом називають ряд виду

, (5.4)

де с та коефіцієнти ряду а₀, а₁, а₂,...,а_n,... – сталі.

При с = 0 степеневий ряд має вигляд

(5.5)

Ряд (5.4) називають рядом за степенями (х – с), а ряд (5.5) називають рядом за степенями х.

5.2.1 Область збіжності та властивості степеневих рядів

• Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд (5.5):

1. збігається при х = х₀, то він абсолютно збігається для будь-якого х, що задовольняє нерівності

2. якщо ряд (5.5) розбігається при х = х₁, то він розбігається при х таких, що .

• Означення 6. Додатне число R таке, що при степеневий ряд збігається, а при ряд розбігається, називають радіусом збіжності степеневого ряду.

Інтервал (-R; R) називають інтервалом збіжності цього ряду.

В кожній точці збіжності цього ряду (5.5) є інтервал (-R; R), до якого, в залежності від конкретних випадків, можуть бути приєднані точки х = - R та

х = R.

У випадку повного степеневого ряду (містить усі степені х) радіус збіжності ряду (5.5) можна знайти за формулою

(5.6)

або за формулою

(5.7)

Якщо степеневий ряд не повний, тоді застосовують таку методику дослідження функціональних рядів: будують ряд з абсолютних величин та застосовують ознаку Даламбера.

Степеневий ряд вигляду (5.4) заміною t = x-c зводиться до степеневого ряду за степенями t, знаходиться його радіус збіжності, а потім повертаються до змінної x і одержують:

• Приклад. Знайти інтервал збіжності ряду а) та область збіжності ряду б), якщо

а) б)

Розв’язання.

Степеневий ряд а) повний, тому його радіус збіжності можна знайти за формулою (6):

Інтервалом збіжності ряду а) буде .

Степеневий ряд б) не повний, тому до ряду застосовуємо ознаку Даламбера:

При ряд збігається. Звідси випливає, що , а інтервалом збіжності ряду буде .

На кінцях інтервалу збіжності: при ряд приймає вигляд і як гармонічний ряд, розбігається; при ряд приймає вигляд і за ознакою Лейбніца збігається умовно.

Отже, областю збіжності ряду б) буде , причому на правому кінці проміжку ряд збігається умовно.