6.2 Ряди Фур’є

6.2.1 Розклад функцій в ряд Фур’є

Функція f(x), яка задовольняє умови Діріхле:

1. неперервна або має скінченну кількість точок розриву першого на ;

2. має в скінченну кількість екстремумів, можна розвинути в ряд Фур’є за будь-якою ортонормованою на системою функцій , тобто представити у вигляді

. (6.12)

Сума ряду правої частини цієї рівності дорівнює:

1. f(x) в точках неперервності функції f(x);

2. в точках розриву f(x).

Коефіцієнти розкладу (6.12) називають коефіцієнтами Фур’є функції і знаходять за формулами:

, k = 0, 1, 2, … (6.13)

Ці коефіцієнти задовольняють нерівність Бесселя

(6.14)

і забезпечують мінімальне відхилення за нормою часткової суми ряду від функції f(x), тобто

. (6.15)

У випадку повної ортогональної системи функцій співвідношення (6.14) стає рівністю

, (6.16)

яку називають рівністю Парсеваля.

У випадку ортогональної на тригонометричної системи функції ряд Фур’є (6.12) приймає вигляд:

, (6.17)

коефіцієнти Фур’є знаходять за формулами:

(6.18)

• Зауваження 4. Гармоніки правої частини рівності (6.17) мають загальний період , тому їх сума також має період .

Якщо f(x) задана лише на скінченному проміжку , то (6.17) буде розкладом періодичного продовження f(x) за межі цього проміжку.

Формулу (6.17) називають розкладом (розвиненням) функції f(x) на тригонометричні гармоніки в проміжку .

Якщо функція f(x) задана і задовольняє умовам Діріхле на проміжку , , тоді згідно зауваженню 1 формули (6.18) треба замінити формулами

(6.18^’)

k = 0, 1, 2, …; n = 1, 2, …

Якщо функція f(x) парна на , то:

(n = 0, 1, …)

і розклад (6.17) приймає вигляд

. (6.19)

Для непарної функції f(x):

і розклад (6.17) приймає вигляд

(6.20)

Якщо функція f(x) задана тільки на і задовольняє умовам Діріхле, то її можна продовжити на парни мчи непарним чином і одержати її розклад в ряд за косинусами або за синусами відповідно.

• Приклад. Розкласти на тригонометричні гармоніки вказану функцію f(x) в заданному проміжку

а) б)

Розв’язання. а) Функція задана і задовольняє умови Діріхле в , тому її можна розкласти в цьому проміжку в ряд за дійсними гармоніками. Із рівності , .

За формулами (6.18^’) знайдемо коефіцієнти Фур’є f(x):

n = 1, 2, …

Підставимо ці коефіцієнти у рівність (6.17) і одержимо

Відзначимо, що одержаний ряд збігається і за межами проміжку . Там його сума дорівнює не заданій функції (вона зображена на мал.1 пунктиром), а періодичній функції, яка зображена на мал.2.

На кінцях проміжку сумою ряду буде

б) Функція задана на В залежності від способу її продовження на цю функцію можна розкласти в ряд Фур’є або за косинусами або за синусами кратних дуг.

Продовжуючи f(x) на парним чином, одержимо:

на проміжку , , ;

; , n = 1, 2, …

За формулою (6.19) отримаємо розклад заданої функції лише за косинусами на

Продовжуючи задану функцію на непарним чином, одержимо:

, n = 0,1, 2, …;

n = 1, 2, …

Тому, за формулою (6.20) отримаємо розклад:

Розклад функції в ряд за уявними гармоніками на проміжку має вигляд:

(6.21)

Коефіцієнти якого знаходяться за формулою

(6.22)

• Зауваження 5. При знаходженні коефіцієнтів часто використовують формули

• Приклад. Розкласти на уявні гармоніки в проміжку функцію .

Розв’язання. Маємо: , . За формулою (6.22) знаходимо

За формулою (6.21) одержимо шуканий розклад функції на :

.