4.4.2 Властивості збіжних рядів

На абсолютно збіжні ряди переносяться усі властивості сум скінченної кількості доданків. Особливе значення має властивість перестановки: сума абсолютно збіжного знакозмінного ряду не змінюється від будь-якої перестановки скінченної множини його членів.

В умовно збіжному ряді не можна переставляти члени, оскільки у випадку їх перестановки може змінюватись сума ряду або утвориться розбіжний ряд.

4.4.3 Оцінка залишків

Якщо знакозмінний ряд абсолютно збіжний, то абсолютна величина його залишку не перевищує n-го залишку ряду, який складений з абсолютних величин членів заданого ряду. Якщо знакопочережний ряд збігається за ознакою Лейбніца, то його n-й залишок r_n за абсолютною величиною не перевищує модуля першого з відкинутих членів, тобто .

• Приклад. Оцінити третій залишок ряду

Розв’язання. Заданий ряд – знакозмінний, оскільки sin1 > 0, sin2 > 0,

sin3 > 0, sin4 < 0, sin5 < 0, sin6 < 0, sin7 > 0,… Для дослідження абсолютної збіжності заданого ряду розглянемо ряд . Оскільки і ряд геометричної прогресії збігається, то заданий знакозмінний ряд збігається абсолютно. Позначимо залишки: - заданого ряду; - ряду, складеного з абсолютних величин; - ряду геометричної прогресії. Тоді маємо:

.

• Приклад. Обчислити з точністю до 0,01 суму ряду

.

Розв’язання. Заданий знакопочережний ряд збігається за ознакою Лейбніца, тому

або .

Остання нерівність виконується починаючи з n = 2, оскільки . Таким чином,

.

5 Функціональні та степеневі ряди

5.1 Функціональні ряди

• Означення 1. Ряд називається функціональним, якщо його члени є функціями, наприклад х, тобто ряд має вигляд

(5.1)

Наприклад, ряд

є функціональним, причому його члени є функціями t, визначеними для усіх .

Якщо х₀ є фіксованим числом, то при х = х₀ ряд (5.1) перетворюється в числовий ряд , який може бути збіжним або розбіжним.

Якщо числовий ряд збігається, то точку х₀ називають точкою збіжності функціонального ряду (5.1). Якщо числовий ряд розбіжний, то х₀ називають точкою розбіжності функціонального ряду.

• Означення 2. Сукупність усіх точок збіжності функціонального ряду називають областю його збіжності.

В області збіжності існує границя часткових сум функціонального ряду

Ряд називають залишком ряду.

В області збіжності функціонального ряду

, де .

• Означення 3. Функціональний ряд (5.1) називається правильно збіжним або мажорованим в проміжку , якщо існує такий числовий додатний збіжний ряд , що абсолютні величини членів функціонального ряду для довільного задовольняють співвідношенням.

, n = 1, 2, 3,…

При цьому ряд називають мажоруючим рядом для функціонального ряду (5.1).

• Приклад. Визначити область збіжності ряду

Розв’язання. Члени ряду утворюють ряд геометричної прогресії з першим членом і знаменником Відомо, що такий ряд збігається для тих значень х, при яких

Таким чином, заданий функціональний ряд збігається для усіх х, при яких . Отже, областю збіжності заданого ряду буде об’єднання .

• Приклад. Дослідити збіжність ряду

Розв’язання. Заданий ряд є правильно збіжним функціональним рядом для , оскільки для усіх х

, n = 1, 2. 3, …,

а додатний числовий ряд є узагальненим гармонічним рядом із показником степеня р = 2 > 1.

Із означення 3 випливає, що правильно збіжний в (-∞, ∞) функціональний ряд абсолютно збігається в усіх точках цього проміжку.