Властивості степеневих рядів

1. Степеневий ряд

на інтервалі його збіжності (-R; R) можна почленно диференціювати та інтегрувати, при цьому мають місце рівності:

2. Якщо степеневий ряд має інтервал збіжності (-R; R), а r – довільне додатне число, менше ніж R, то цей степеневий ряд правильно збіжний на .

3. Суму степеневого ряду є неперервною функцією в кожній точці його інтервалу збіжності.

4. Степеневі ряди всередині перетину їх інтервалів збіжності можна: почленно складати, множити за правилом множення багаточленів, ділити ряд на ряд.

5.2.2 Розклад функцій в степеневий ряд та його застосування

Щоб розкласти на інтервалі (с-R; с+R) нескінченно диференційовану функцію f(x) в ряд Тейлора

(5.8)

необхідно і достатньо, щоб на цьому інтервалі виконувалась умова

, де (5.9)

Щоб розкласти на інтервалі (-R; R) нескінченно диференційовану функцію f(x) в ряд Маклорена

(5.10)

необхідно і достатньо виконання умови

, де (5.11)

• Зауваження 3. Для використання умови (11) доцільно врахувати, що для довільного фіксованого х має місце рівність

. (5.12)

В наближених обчисленнях найчастіше використовують наступні розклади, в яких змінна х замінена змінною u:

(5.13)

, (5.14)

, (5.15)

, (5.16)

, (5.17)

, (5.18)

. (5.19)

• Приклад. Розкласти в степеневий ряд функцію .

Розв’язання. Нехай , тоді і, використовуючи (5.13), одержимо розклад

(5.20)

який має місце для усіх .

Розвинення функції в ряд Маклорена використовується для обчислення наближених значень функції та інтегралів.

• Приклад. Обчислити ln(1,6), використовуючи три члена розкладу в степеневий ряд.

Розв’язання. Згідно рівності (16) при маємо:

Обмежуючись трьома членами розкладу згідно з умовою, отримаємо:

Абсолютна величина похибки буде

• Приклад. Обчислити з точністю до 0,001.

Розв’язання. В заданому випадку первісну для функції не можна виразити через елементарні функції. Тому розкладемо підінтегральну функцію в степеневий ряд за формулою (5.20)

Цей ряд збігається для , тому його можна почленно інтегрувати по довільному проміжку і, зокрема, на проміжку .

Одержимо:

Отже, шуканий інтеграл дорівнює сумі числового знакопочережного ряду. Оскільки третій член цього ряду , а , то з точністю до 0,001 згідно з ознакою Лейбніца отримаємо