Лабораторна робота №4 Тема: Розв'язування сфероїдних трикутників
Трикутники утворені геодезичними лініями на поверхні еліпсоїда (сфероїда), називаються сфероїдними трикутниками.
Розв'язати трикутник – це означає визначити всі його елементи (сторони та кути), в той час як деякі з них повинні бути відомі. Сфероїдичні трикутники неможливо розв'язати використовуючи елементарні функції. Якщо необхідно розв'язати трикутник з відносною помилкою 10-8 то сфероїдичний трикутник можливо розглядати як сферичний, якщо його сторони не перевищують 240 км.
В геодезичній практиці застосовують спеціальні методи розв'язування таких трикутників: по теоремі Лежандра і способу аддитаментів.
А. Розв'язування сферичних трикутників по теоремі Лежандра.
Спосіб сферичних надлишків запропонований Лежандром в 1787 році (теорема Лежандра), полягає в наступному: кожен із кутів сферичного трикутника А,В та С зменшують на одну третину сферичного надлишку ε. В результаті цього отримуємо кути плоского трикутника А1,В1 та С1 і, залишаючи сторони а, в, с сферичного трикутника без змін розв'язують його як плоский по теоремі синусів .
Робочі формули:
А1=А- ε/3; В1=В- ε/3; С1=С- ε/3;
b2sinAsinC
ε=fbcsinA=f---------------------;
sinB
b2sinAsinC
ε= fD1; D1=---------------------;
sinB
а= D11 sinA1; b= D11 sinB1; с= D11 sinС1;
f=ρ˝/2R2m; Rm=√MN, де Rm-середній радіус кривини еліпсоїда для середньої широти Вm.
D11=а/ sinA1= b/sinB1=с/ sinС1.
Приклад.
Обчислення сферичного трикутника.
Обчислення сферичного трикутника І класу, маємо виміряні та приведені до центрів знаків і спроектовані на поверхність еліпсоїда кути А=50°20'19;41˝; В=62°12'44,54˝; С=67°26'58,43˝, та сторона в=44797,282 м. Середня широта трикутника Вm=48°12′.
Обчислення сферичного надлишку
Формули |
Результати обчислень |
Формули |
Результати обчислень |
f |
0,002533 |
b2sinAsinC |
1426,95 |
b2 |
2007,04 |
sinB |
0,884681 |
sinA |
0,769831 |
D1 |
1612,95 |
sinC |
0,923545 |
ε |
4,086ʺ |
sinAsinC |
0,710971 |
|
|
Примітка. 1Величину f можливо взяти з додатку 1по широті Вm . 2. При обчисленні сферичного надлишку ε довжини сторін трикутника записуються в кілометрах.
Обчислення трикутника.
Вершина |
Виміряні кути сферичного трикутника |
Поп- равка -ω/3 |
Зрівняні кути сферичного трикутника |
-ε/3 |
Кути плоского трикутника |
Синуси кутів плоского трикутника |
В |
62°12'44,54˝ |
0,57ʺ |
62°12'45,11˝ |
-1,36ʺ |
62°12'43,75˝ |
0,88467988 |
А |
50°20'19;41˝ |
0,57 |
50°20'19;98˝ |
-1,36 |
50°20'18;62˝ |
0,76982866 |
С |
67°26'58,43˝ |
0,57 |
67°26'59,00˝ |
-1,37 |
67°26'57,63˝ |
0,92354082 |
∑ |
180º00′02,38ʺ |
|
180º00′04,09ʺ |
|
180º00′00,00ʺ |
|
ε |
04,09 |
|
|
|
|
|
ω=-(ε+ 180)+∑ |
-01,71 |
|
|
|
|
|
Формули |
Результати обчислень |
Формули |
Результати обчислень |
в |
44797,282 м |
а |
38981,594 |
D11 |
50636,714 |
с |
46765,073 |
Б. Спосіб аддитаментів.
В основу способу аддитаментів запропонованого Зольднером в 1820 році лежить теорема синусів
=
=
.
В зв’язку з тим,
що величини а/R,
в/R, с/R, вирахаючих сторони сферичного
трикутника в радіанній мірі малі в
порівнянні з радіусом Землі 
,
синуси цих величин можна розкласти в
ряд і обмежитись двома членами розкладення.
=
=
.
Ідея способу аддитаментів заклечається в тому, що сторони сферичного трикутника а, в, с виправляють поправками в результаті отримують сторони плоского трикутника а', в', с'.
Аддитаментами являються величини
Аа=ka3; Аb=kb3; Ас=kс3; де
k=1/6
,
R=√MN
– середній
радіус кривизни еліпсоїда для району
розташування трикутника.
Спосіб аддитаментів застосовують як контрольний при обчисленні трикутників по теоремі Лежандра.
Робочі формули.
в'=b-Ab=b-kb3,
Ab= kb3.
а'=
; с'=
;
a=a'+ka'3= а'+ Аа; c=c'+kc'3=c+Ac.
Аа= ka'3; Ас= kc'3; k=1/6R2
Схема обчислень
Вер- шина |
Виміряні кути сферичного трикутника |
Поп- равка -ω/3 |
Зрівняні кути сферичного трикутника |
Синуси зрівняних кутів сферичного трикутника |
Сторони плоского трикутника а', в', с' |
As |
Сторони сферичного трикутника
|
В |
62°12'44,54˝ |
0,57ʺ |
62°12'45,11˝ |
0,88468295 |
44796,914 |
0,368 |
44797,282 |
А |
50°20'19;41˝ |
0,57 |
50°20'19;98˝ |
0,76983287 |
38981,350 |
0,243 |
38981,593 |
С |
67°26'58,43˝ |
0,57 |
67°26'59,00˝ |
0,92354337 |
46764,654 |
0,419 |
46765,073 |
∑ |
180º00′02,38ʺ |
|
180º00′04,09ʺ |
|
|
|
|
ε |
04,09 |
|
|
|
|
|
|
ω=∑-(180+ε)
|
-01,71 |
|
|
|
|
|
|
Примітка. k приймають для території України рівному k=409·10-11, при цьому довжини сторін трикутників виражають в кілометрах.
Самостійна робота. Обчислити сферичний трикутник І класу, маємо виміряні та приведені до центрів знаків і спроектовані на поверхність еліпсоїда кути А; В; С, та сторона в. Середня широта трикутника Вm.
Нижче приводиться таблиця завдань для самостійних робіт студентів.
Таблиця №1. Для групи №1.
№ завд |
Кут А |
Кут В |
Кут С |
Сторона в,м |
Вm |
1 |
52˚21ʹ19.42ʺ |
61˚11ʹ44.51ʺ |
66˚26ʹ58.48ʺ |
41968,234 |
47˚20ʹ |
2 |
52˚20ʹ19.44ʺ |
62˚12ʹ44.55ʺ |
65˚26ʹ58.45ʺ |
40875,334 |
49˚00ʹ |
3 |
52˚18ʹ19.44ʺ |
61˚12ʹ44.51ʺ |
66˚28ʹ57.45ʺ |
41325,239 |
49˚50ʹ |
4 |
53˚18ʹ19.44ʺ |
61˚12ʹ44.54ʺ |
65˚28ʹ57.45ʺ |
40968,234 |
47˚10ʹ |
5 |
54˚28ʹ19.44ʺ |
62˚02ʹ44.45ʺ |
63˚28ʹ57.44ʺ |
39768,255 |
48˚20ʹ |
6 |
54˚21ʹ19.47ʺ |
59˚09ʹ44.31ʺ |
66˚28ʹ57.52ʺ |
39685,735 |
49˚20ʹ |
7 |
53˚21ʹ18.44ʺ |
59˚09ʹ45.35ʺ |
67˚28ʹ57.45ʺ |
40761,244 |
50˚20ʹ |
8 |
55˚21ʹ18.44ʺ |
58˚09ʹ45.35ʺ |
66˚28ʹ57.45ʺ |
38761,944 |
50˚30ʹ |
9 |
57˚21ʹ18.44ʺ |
57˚09ʹ45.35ʺ |
65˚28ʹ57.45ʺ |
41761,744 |
50˚40ʹ |
10 |
51˚28ʹ19.44ʺ |
61˚02ʹ44.48ʺ |
67˚28ʹ57.44ʺ |
40861,362 |
47˚30ʹ |
11 |
55˚20ʹ09.44ʺ |
59˚10ʹ55.35ʺ |
65˚28ʹ57.46ʺ |
41987,354 |
48˚20ʹ |
12 |
56˚10ʹ09.42ʺ |
58˚15ʹ55.37ʺ |
65˚33ʹ57.48ʺ |
41968,234 |
47˚20ʹ |
13 |
60˚10ʹ09.55ʺ |
56˚15ʹ55.37ʺ |
63˚33ʹ58.48ʺ |
40999,587 |
50˚10ʹ |
14 |
62˚10ʹ09.59ʺ |
57˚15ʹ55.37ʺ |
62˚33ʹ58.34ʺ |
41999,587 |
50˚50ʹ |
15 |
50˚31ʹ19.43ʺ |
62˚06ʹ44.49ʺ |
67˚21ʹ58.48ʺ |
38991,982 |
51˚10ʹ |
16 |
54˚31ʹ19.48ʺ |
61˚06ʹ49.52ʺ |
64˚21ʹ53.49ʺ |
37891,985 |
51˚30ʹ |
17 |
52˚31ʹ19.43ʺ |
63˚06ʹ44.49ʺ |
64˚21ʹ59.28ʺ |
41934,911 |
51˚40ʹ |
18 |
55˚31ʹ19.56ʺ |
60˚06ʹ44.41ʺ |
64˚21ʹ58.55ʺ |
42991,582 |
52˚10ʹ |
19 |
56˚31ʹ20.45ʺ |
63˚36ʹ44.51ʺ |
59˚51ʹ58.53ʺ |
42871,875 |
52˚40ʹ |
20 |
57˚01ʹ20.49ʺ |
64˚36ʹ44.58ʺ |
58˚21ʹ58.57ʺ |
41833,892 |
53˚10ʹ |
21 |
52˚30ʹ19.46ʺ |
63˚07ʹ44.51ʺ |
64˚21ʹ58.41ʺ |
40875,263 |
51˚50ʹ |
22 |
53˚30ʹ19.48ʺ |
65˚07ʹ44.54ʺ |
61˚21ʹ58.47ʺ |
41875,260 |
51˚00ʹ |
23 |
54˚28ʹ19.42ʺ |
60˚02ʹ44.45ʺ |
65˚28ʹ57.44ʺ |
40555,495 |
52˚30ʹ |
24 |
58˚28ʹ19.49ʺ |
58˚02ʹ44.47ʺ |
63˚28ʹ57.48ʺ |
41555,891 |
47˚40ʹ |
Таблиця №2. Для групи №2.
№ завд |
Кут А |
Кут В |
Кут С |
Сторона в,м |
Вm |
1 |
54˚21ʹ19.43ʺ |
60˚11ʹ44.54ʺ |
65˚26ʹ58.49ʺ |
42965,234 |
48˚20ʹ |
2 |
52˚20ʹ19.41ʺ |
65˚12ʹ44.57ʺ |
62˚26ʹ58.47ʺ |
41877,334 |
48˚00ʹ |
3 |
54˚18ʹ19.44ʺ |
62˚12ʹ44.51ʺ |
63˚28ʹ57.45ʺ |
41325,239 |
49˚50ʹ |
4 |
53˚48ʹ19.44ʺ |
62˚42ʹ44.54ʺ |
63˚28ʹ57.45ʺ |
39968,274 |
48˚10ʹ |
5 |
55˚28ʹ19.44ʺ |
60˚02ʹ44.45ʺ |
64˚28ʹ57.44ʺ |
39768,255 |
48˚20ʹ |
6 |
56˚21ʹ19.47ʺ |
58˚09ʹ44.33ʺ |
65˚28ʹ57.54ʺ |
38674,722 |
47˚20ʹ |
7 |
57˚21ʹ18.45ʺ |
57˚09ʹ45.39ʺ |
65˚28ʹ57.48ʺ |
41760,144 |
50˚40ʹ |
8 |
55˚51ʹ18.44ʺ |
58˚39ʹ45.35ʺ |
65˚28ʹ58.05ʺ |
39260,843 |
47˚30ʹ |
9 |
57˚21ʹ18.47ʺ |
59˚09ʹ45.38ʺ |
63˚28ʹ57.46ʺ |
40569,755 |
50˚50ʹ |
10 |
53˚28ʹ19.44ʺ |
62˚02ʹ44.52ʺ |
64˚28ʹ57.49ʺ |
39861,555 |
48˚30ʹ |
11 |
56˚20ʹ09.46ʺ |
61˚10ʹ55.35ʺ |
62˚28ʹ57.46ʺ |
40785,351 |
49˚20ʹ |
12 |
58˚40ʹ09.43ʺ |
58˚45ʹ54.37ʺ |
62˚33ʹ58.48ʺ |
40962,288 |
50˚20ʹ |
13 |
59˚10ʹ09.56ʺ |
55˚15ʹ55.39ʺ |
65˚33ʹ58.52ʺ |
41998,582 |
49˚10ʹ |
14 |
61˚10ʹ09.59ʺ |
56˚45ʹ55.37ʺ |
62˚03ʹ58.34ʺ |
39899,581 |
48˚50ʹ |
15 |
50˚31ʹ19.43ʺ |
62˚06ʹ44.49ʺ |
67˚21ʹ58.48ʺ |
38991,982 |
51˚10ʹ |
16 |
55˚31ʹ21.48ʺ |
61˚06ʹ48.52ʺ |
63˚21ʹ52.49ʺ |
39831,984 |
50˚30ʹ |
17 |
53˚31ʹ19.46ʺ |
64˚36ʹ44.48ʺ |
61˚51ʹ59.33ʺ |
40735,811 |
50˚40ʹ |
18 |
57˚01ʹ29.56ʺ |
61˚36ʹ34.41ʺ |
61˚21ʹ58.55ʺ |
38931,589 |
50˚00ʹ |
19 |
58˚31ʹ20.45ʺ |
60˚36ʹ54.51ʺ |
60˚51ʹ48.53ʺ |
37853,833 |
47˚40ʹ |
20 |
60˚01ʹ30.51ʺ |
63˚06ʹ34.59ʺ |
56˚51ʹ58.58ʺ |
41833,892 |
47˚10ʹ |
21 |
56˚30ʹ19.46ʺ |
60˚37ʹ54.51ʺ |
62˚51ʹ48.41ʺ |
36875,963 |
48˚50ʹ |
22 |
55˚30ʹ19.49ʺ |
64˚07ʹ44.55ʺ |
60˚21ʹ58.52ʺ |
38844,394 |
51˚30ʹ |
23 |
53˚28ʹ29.47ʺ |
62˚02ʹ34.48ʺ |
64˚28ʹ57.46ʺ |
39155,478 |
47˚50ʹ |
24 |
56˚02ʹ19.54ʺ |
61˚28ʹ54.45ʺ |
62˚28ʹ47.49ʺ |
38522,846 |
51˚40ʹ |