Лабораторна робота №6

Тема: Розв'язання оберненої геодезичної задачі за формулами з середніми аргументами (спосіб Гаусса).

Спосіб Гаусса полягає в розкладенні підінтегральних функцій в ряд Тейлора з середніми аргументами, якими є:

B_m=0,5(B₁+B₂); L_m=0,5(L₁+L₂); A_m=0,5(A₁₂±180˚+A₂₁).

Робочі формули.

SsinA_m=D[a₁l‾+a₂ΔB²‾l‾+a³l³‾]=D∑₁, (1)

ScosA_m =D[a₄ ΔB‾ +a₅ΔB‾ l ²‾+a₆ ΔB ³‾]=D∑₂, (2)

ΔA=sin B_m [a₇l‾+a₈ΔB‾²l‾+a₉l³‾]= sinB_m∑₃, (3)

де

m=593,602160; ΔB‾=(B₂-B₁)˝·10^-4;

n=197,867385; l‾=(L₂-L₁)˝·10^-4;

D=(m+cos² B_m)/(n+cos² B_m);

a₁=103422,05 cos B_m;

a₂=9,5144 cos B_m+0,5525 cos³ B_m-0,0078 cos⁵ B_m;

a₃=-10,1287 cos B_m+10,1287 cos³ B_m;

a₄=103422,05-696,9116cos² B_m+4,6954cos⁴ B_m-0,0310cos⁶ B_m;

a₅=-30,3860+10,3334cos² B_m-0,2061cos⁴ B_m+0,0014 cos⁶ B_m;

a₆=-0,2048+0,4192 cos² B_m-0,0124 cos⁴ B_m;

a₇=10000=10⁴;

a₈=2,9381+0,0132 cos² B_m;

a₉=1,9587 cos² B_m+0,0132 cos⁴ B_m.

З формул (1), (2) та (3) отримаємо розв'язання оберненої геодезичної задачі:

A_m=arctg(∑₁/∑₂); S₁= D∑₁/ sinA_m; S₂= D∑₂/ cosA_m; S_сер.=0,5(S₁+ S₂);

A₁₂= A_m-0,5 ΔA; A₂₁= A_m±180˚+0,5 ΔA.

формули (1), (2) та (3) забезпечують обчислення відстані S з помилкою 5-10 см та азимуту з помилкою 0,05˝ при обчисленні оберненої геодезичної задачі на відстань до 600км.

Значення cos B_m для обчислення a₁ потрібно брати до семи знаків, для a₄-до шести знаків для інших досить брати до чотирьох знаків.

Приклад. По заданих геодезичних координатах B₁, L₁, B₂, L₂ точок 1 та 2 обчислити відстань S між ними, а також прямий А₁₂ та зворотній А₂₁ геодезичні азимути.

B₁₌50º07′40,97ʺ; L₁=23º45′13,43ʺ; B₂=52º39′03,91ʺ; L₂=24º00′25,46ʺ

Схема розв'язання

Формули	Результати обчислень	Формули	Результати обчислень
B1	50º07′40,97ʺ	a3	−3,859
B2	52º39′03,91ʺ	a4	103151,381
ΔB	+2 31 22,94	a5	−26,393
ΔB˝	9082,94ʺ	a6	−0.043
Bm	51º23′22,44ʺ	a7	10000,000
L1	23º45′13,43ʺ	a8	2,943
L2	24º00′25,46ʺ	a9	0.756
l	+0º15′12,03ʺ	D	2,99607176
l˝	912,03ʺ	a1l‾	5886,0249
ΔB‾	0,908294	a2 ΔB2‾l‾	0,4565
l‾	0, 91203	a3l3‾	−0,0029
ΔB2‾	0.8250	∑1	5886,4785
l2‾	0,0083	a4ΔB‾	93691,7804
ΔB2‾ l‾	0,0752	a5ΔB‾l2‾	−0,2006
ΔB‾ l2‾	0,0076	a6ΔB3‾	−0,0322
ΔB3‾	0,7493	∑2	93691,5476
l3‾	0,0008	a7l‾	912,0300
cos Bm	0,62402190	a8ΔB2‾l‾	0,2213
cos2 Bm	0,389403	a9l3‾	0,0006
cos3 Bm	0,2430	∑3	912,2519
cos4 Bm	0,1516	SsinAm=D∑1	17636,312
cos5 Bm	0,0946	ScosAm=D∑2	280706,600
cos6 Bm	0,0590	tgAm	0,06282828
sinBm	0,781407	Am	3º35′42,25ʺ
a1	64537,624	sinAm	0,06270464
a2	6,071	cosAm	0,99803213
		S1= D∑1/ sinAm	281 260,08
Формули	Результати обчислень	Формули	Результати обчислень
S2= D∑2/ cosAm	281 260,08	A12= Am-0,5 ΔA	3º29′45,83ʺ
Sсер.	281 260,08	A21= Am±180˚+0,5 ΔA	183º41′38,67ʺ
ΔAʺ= sinBm∑3	+712,84ʺ
ΔA	11′52,84ʺ
0,5ΔA	5′56,42ʺ

Самостійна робота. По геодезичних координатах початкової точки B₁, L₁,(вхідні дані попередньої роботи) та геодезичних координатах кінцевої точки B₂, L₂ (вихідні дані попередньої роботи ) обчислити прямий азимут А₁₂ та зворотній азимут А₂₁, а також відстані S .