- •Мета і завдання дисципліни «Самостійні роботи з курсу вищої геодезії»
- •Список літератури
- •Лабораторна робота №1 Тема: Обчислення довжини дуги меридіану
- •Лабораторна робота №2 Тема: Обчислення довжини дуги паралелі
- •Лабораторна робота №3 Тема: Обчислення довжин сторін і площі зйомочної трапеції
- •Лабораторна робота №4 Тема: Розв'язування сфероїдних трикутників
- •Лабораторна робота №5
- •Лабораторна робота №6
- •Обчислення прямокутних координат Гаусса – Крюгера по геодезичних.
- •Лабораторна робота №7 Тема: Перехід від геодезичних координат до плоских прямокутних координат Гаусса – Крюгера. Геодезичні координати.
- •Лабораторна робота №8 Тема: Обчислення геодезичних координат по прямокутних координатах Гаусса – Крюгера. Формули для обчислення.
- •Лабораторна робота №9 Тема: Перетворення прямокутних координат з однієї зони до іншої.
- •Перетворення прямокутних координат з шестиградусної до триградусної зони.
Лабораторна робота №5
Тема: Розв'язання прямої геодезичної задачі методом Рунге-Кутта-Інгленда.
Метод Рунге-Кутта-Інгленда полягає в тому, що рішення диференціального рівняння першого порядку в точці xj+1 має вид
yj+1=yj+1/6(k1+4k3+k4), де k1=Δxf(xj, yj);
k2= Δxf(xj+½Δx, yj+½k1) ;
k3=Δxf[xj+½Δx, yj+0,25(k1+k2)] ;
k4= Δxf(xj+Δx, yj-k2+2k3), Δx=xj+1-xj - крок інтегрування.
Помилка інтегрування на одному кроці (локальна помилка) визначається за формулою
M=1/336(-42k1-224k3-21k4+162k5+125k6),
де
k5=Δxf[xj+18/27Δx, yj+1/27(7k1+10k2+k3)] ;
k6= Δxf(xj+1/5Δx, yj+1/625(28k1-125k2+546k3+54k4-378k5)] ;
Застосовуючи дані формули та формули для обчислення інтегралів
s
B2-B1=∫ V3/C cosAdS;
0s
L2-L1=∫V/C secBsinAdS;
0 s
A2-A1=±180°=∫V/C sinBsecBsinAdS;
0
отримаємо робочі формули:
B2=B1+1/6(ΔB1+4ΔB3+ΔB4);
L2=L1+1/6(ΔL1+4ΔL3+ ΔL4) ;
A2=A1+1/6(ΔA1+ 4ΔA3+ ΔA4) ;
де
ΔBi=S0Vi3cosαi ,
ΔLi= S0Vi sinαi / cosφi,
ΔAi=ΔLi sinφi,
Vi=1+0,6γi /1+0,2γi; γi=βcos2φi; S0=S/Cρ˝=0,0322304·S;
β=1,25e'2, i=1,….,6-номер пробного кроку.
Для еліпсоїда Красовського
C=6399698,9 м, β=0,00842316.
Значення αi та φi приведено нижче в таблиці
i |
α |
φ |
1 |
A1 |
B1 |
2 |
A1+0,5ΔA1 |
B1+0,5ΔB1 |
3 |
A1+0,25(ΔA1+ΔA2) |
B1+0,25(ΔB1+ΔB2) |
4 |
A1-ΔA2+2ΔA3 |
B1-ΔB2+2ΔB3 |
5 |
A1+1/27(7ΔA1+10ΔA2+ΔA3 |
B1+1/27(7ΔB1+10ΔB2+ΔB3) |
6 |
A1+1/625(28ΔA1-125ΔA2+ +546ΔA3+54ΔA4-378ΔA5) |
B1+1/625(28ΔB1-125ΔB2+ +546ΔB3+54ΔB4-378ΔB5) |
Локальні помилки для координат та азимуту обчислюються за формулами:
MΔB=1/336(-42ΔB1-224ΔB3-21ΔB4+162ΔB5+125ΔB6);
MΔL=1/336(-42ΔL1-224ΔL3-21ΔL4+162ΔL5+125ΔL6);
MΔA=1/336(-42ΔA1-224ΔA3-21ΔA4+162ΔA5+125ΔA6);
Приклад. По геодезичних координатах початкової точки B1, L1, прямому азимуту А12 відстані S обчислити геодезичні координати точки B2, L2 та зворотній азимут А21.
Вихідні дані:
B1=50º07′40,97ʺ S=281260,08 м
L1=23 45 13,43 β=0,00842316
А12= А1=3 29 45,83
Схема розв'язання
Формули |
i |
|||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
S0 |
9 065,125 |
9 065,125 |
9 065,125 |
9 065,125 |
9 065,125 |
9 065,125 |
αi |
3º29′45,83ʺ |
3º35′17,18ʺ |
3º35′29,34ʺ |
3º41′38,51ʺ |
3º37′27,48ʺ |
3º32′00,33ʺ |
φi |
50º07′40,97ʺ |
51 23 23,91 |
51 23 23,18 |
52 39 03,89 |
51 48 37,04 |
50 3758,02 |
cosαi |
0,9981390 |
0,99803974 |
0,99803605 |
0,99792234 |
0,99800001 |
0,99809902 |
sinαi |
0,0609800 |
0,06258334 |
0,06264219 |
0,06442834 |
0,06321378 |
0,06163079 |
cosφi |
0,6410740 |
0,62401635 |
0,62401908 |
0,60666735 |
0,61826726 |
0,63428827 |
sinφi |
0,7674791 |
0,78141128 |
0,78140910 |
0,79495580 |
0,78596793 |
0,77309663 |
cos2φi |
0,4109759 |
0,38939641 |
0,38939981 |
0,36804528 |
0,38225441 |
0,40232161 |
γi |
0,0034617 |
0,00327995 |
0,00327998 |
0,00310010 |
0,00321979 |
0,00338882 |
1+0,6γi |
1,0020770 |
1,00196797 |
1,00196799 |
1,00186006 |
1,00193187 |
1,00203329 |
1+0,2γi |
1,0006923 |
1,00065599 |
1,00065600 |
1,00062002 |
1,00064396 |
1,00067776 |
Vi |
1,0013837 |
1,00131112 |
1,00131113 |
1,00123927 |
1,00128709 |
1,00135461 |
V3i |
1,0041569 |
1,00393852 |
1,00393855 |
1,00372243 |
1,00386623 |
1,00406933 |
sinαi /cosφi |
0,0951216 |
0,10029119 |
0,10038505 |
0,10620044 |
0,10224345 |
0,09716527 |
ΔB˝i |
9085,87ʺ |
9082,99ʺ |
9082,95ʺ |
9079,96ʺ |
9081,97ʺ |
9084,71ʺ |
ΔB˚i |
2º31′25,87ʺ |
2º31′22,99ʺ |
2º31′22,95ʺ |
2º31′19,96ʺ |
2º31′21,97ʺ |
2º31′24,71ʺ |
ΔL˝i |
863,48ʺ |
910,34ʺ |
911,20ʺ |
963,91ʺ |
928,04ʺ |
882,01ʺ |
ΔL˚i |
0º14′23,48ʺ |
0º15′10,34ʺ |
0º15′11,20ʺ |
0º16′03,91ʺ |
0º15′28,04ʺ |
0º14′42,01ʺ |
ΔA˝i |
662,70ʺ |
711,35ʺ |
712,02ʺ |
766,27ʺ |
729,41ʺ |
681,88ʺ |
ΔA˚i |
0º11′02,70ʺ |
0º11′51,35ʺ |
0º11′52,02ʺ |
0º12′46,27ʺ |
0º12′09,41ʺ |
0º11′21,88ʺ |
ΔB=1/6(9085,87ʺ+4∙9082,95ʺ+9079,96ʺ)=9082,94ʺ=2º31′22,94ʺ; В2=50º07′40,97ʺ+2º31′22,94ʺ=52º39′03,91ʺ
ΔL=1/6(863,48ʺ+4∙911,20ʺ+963,91ʺ)=912,03ʺ=0º15′12,03ʺ; L2= 23º45′13,43ʺ+0º15′12,03ʺ=24º00′25,46ʺ
ΔА=1/6(662,70ʺ+4∙712,02ʺ+766,27ʺ)=712,84ʺ=0º11′52,84ʺ; А21=3º29′45,83ʺ+0º11′52,84ʺ±180º=183º41′38,67ʺ
MΔB=1/336(−381606,5ʺ−2034580ʺ−190679,1ʺ+1471279ʺ+1135591ʺ)=4,4ʺ/336=0,013ʺ
MΔL=1/336(−36266,16ʺ−204106,5ʺ−20242,11ʺ+150342,4ʺ+110251,2ʺ)=−21,2ʺ/336=−0,063ʺ
MΔA=1/336(−27833,4ʺ−159492,4ʺ−16091,67ʺ+118164,4ʺ+85235ʺ)=−18,1ʺ/336=−0,054ʺ.
Самостійна робота. По геодезичних координатах початкової точки B1, L1, прямому азимуту А12 відстані S обчислити геодезичні координати точки B2, L2 та зворотній азимут А21.
Нижче приводиться таблиця завдань для самостійних робіт студентів.
Таблиця №1. Для групи №1.
№ завд. |
B1, ˚ ʹ ʺ |
L1, ˚ ʹ ʺ |
S, м |
А12= А1, ˚ ʹ ʺ |
1 |
47˚01ʹ02,44ʺ |
21˚02ʹ25,33ʺ |
280355,56 |
3˚11ʹ22,36ʺ |
2 |
47˚11ʹ05,56ʺ |
21˚22ʹ35,75ʺ |
278343,44 |
4˚21ʹ29,88ʺ |
3 |
47˚31ʹ42,98ʺ |
21˚52ʹ55,67ʺ |
281374,59 |
3˚41ʹ52,76ʺ |
4 |
47˚51ʹ38,41ʺ |
21˚47ʹ29,52ʺ |
268575,51 |
4˚31ʹ42,32ʺ |
5 |
48˚12ʹ22,33ʺ |
22˚14ʹ38,49ʺ |
263399,74 |
4˚22ʹ35,48ʺ |
6 |
48˚42ʹ32,37ʺ |
22˚34ʹ41,44ʺ |
269699,87 |
4˚52ʹ55,73ʺ |
7 |
48˚53ʹ22,22ʺ |
22˚54ʹ33,33ʺ |
268992,71 |
5˚29ʹ38,55ʺ |
8 |
49˚03ʹ44,85ʺ |
23˚04ʹ23,18ʺ |
267695,92 |
5˚32ʹ19,33ʺ |
9 |
49˚24ʹ41,19ʺ |
23˚22ʹ29,38ʺ |
271688,84 |
5˚56ʹ14,14ʺ |
10 |
49˚43ʹ49,62ʺ |
23˚44ʹ27,27ʺ |
272689,33 |
6˚12ʹ24,44ʺ |
11 |
49˚55ʹ55,55ʺ |
23˚56ʹ36,18ʺ |
273945,98 |
6˚33ʹ22,33ʺ |
12 |
50˚04ʹ42,02ʺ |
24˚05ʹ12,09ʺ |
267111,05 |
6˚22ʹ16,42ʺ |
13 |
50˚13ʹ31,15ʺ |
24˚21ʹ32,14ʺ |
268312,22 |
6˚33ʹ26,49ʺ |
14 |
50˚24ʹ52,17ʺ |
24˚33ʹ42,31ʺ |
266818,09 |
6˚45ʹ34,34ʺ |
15 |
50˚35ʹ48,77ʺ |
24˚45ʹ19,88ʺ |
269152,89 |
6˚52ʹ57,41ʺ |
16 |
50˚54ʹ57,08ʺ |
24˚56ʹ44,12ʺ |
274715,75 |
6˚59ʹ36,49ʺ |
17 |
51˚05ʹ31,24ʺ |
25˚07ʹ18,68ʺ |
275817,88 |
7˚23ʹ22,61ʺ |
18 |
51˚15ʹ36,29ʺ |
25˚22ʹ33,61ʺ |
275987,80 |
7˚41ʹ28,72ʺ |
19 |
51˚34ʹ39,84ʺ |
25˚36ʹ41,52ʺ |
276415,83 |
7˚53ʹ43,84ʺ |
20 |
51˚52ʹ41,21ʺ |
25˚54ʹ22,73ʺ |
277312,34 |
8˚28ʹ26,51ʺ |
21 |
52˚09ʹ34,35ʺ |
26˚04ʹ35,78ʺ |
278714,29 |
8˚33ʹ29,18ʺ |
22 |
52˚24ʹ37,31ʺ |
26˚28ʹ43,95ʺ |
279788,55 |
8˚49ʹ44,57ʺ |
23 |
52˚39ʹ39,39ʺ |
26˚44ʹ44,44ʺ |
282619,11 |
9˚23ʹ21,12ʺ |
24 |
52˚58ʹ31,95ʺ |
27˚08ʹ39,39ʺ |
282147,22 |
9˚32ʹ25,25ʺ |
Таблиця №2. Для групи №2.
№ завд. |
B1, ˚ ʹ ʺ |
L1, ˚ ʹ ʺ |
S, м |
А12= А1, ˚ ʹ ʺ |
1 |
51˚05ʹ31,24ʺ |
23˚22ʹ29,38ʺ |
268312,22 |
13˚11ʹ22,36ʺ |
2 |
51˚15ʹ36,29ʺ |
23˚44ʹ27,27ʺ |
266818,09 |
14˚21ʹ29,88ʺ |
3 |
51˚34ʹ39,84ʺ |
23˚56ʹ36,18ʺ |
269152,89 |
13˚41ʹ52,76ʺ |
4 |
51˚52ʹ41,21ʺ |
24˚05ʹ12,09ʺ |
274715,75 |
14˚31ʹ42,32ʺ |
5 |
52˚09ʹ34,35ʺ |
24˚21ʹ32,14ʺ |
275817,88 |
14˚22ʹ35,48ʺ |
6 |
52˚24ʹ37,31ʺ |
24˚33ʹ42,31ʺ |
275987,80 |
14˚52ʹ55,73ʺ |
7 |
52˚39ʹ39,39ʺ |
24˚45ʹ19,88ʺ |
276415,83 |
15˚29ʹ38,55ʺ |
8 |
52˚58ʹ31,95ʺ |
24˚56ʹ44,12ʺ |
277312,34 |
15˚32ʹ19,33ʺ |
9 |
51˚05ʹ31,24ʺ |
25˚07ʹ18,68ʺ |
278714,29 |
15˚56ʹ14,14ʺ |
10 |
51˚05ʹ31,24ʺ |
25˚22ʹ33,61ʺ |
279788,55 |
16˚12ʹ24,44ʺ |
11 |
51˚05ʹ31,24ʺ |
25˚36ʹ41,52ʺ |
282619,11 |
16˚33ʹ22,33ʺ |
12 |
51˚05ʹ31,24ʺ |
25˚54ʹ22,73ʺ |
282147,22 |
16˚22ʹ16,42ʺ |
13 |
51˚05ʹ31,24ʺ |
26˚04ʹ35,78ʺ |
280355,56 |
7˚53ʹ43,84ʺ |
14 |
51˚05ʹ31,24ʺ |
26˚28ʹ43,95ʺ |
278343,44 |
8˚28ʹ26,51ʺ |
15 |
51˚05ʹ31,24ʺ |
26˚44ʹ44,44ʺ |
281374,59 |
8˚33ʹ29,18ʺ |
16 |
51˚05ʹ31,24ʺ |
27˚08ʹ39,39ʺ |
268575,51 |
8˚49ʹ44,57ʺ |
17 |
49˚24ʹ41,19ʺ |
21˚02ʹ25,33ʺ |
263399,74 |
9˚23ʹ21,12ʺ |
18 |
49˚43ʹ49,62ʺ |
21˚22ʹ35,75ʺ |
269699,87 |
9˚32ʹ25,25ʺ |
19 |
49˚55ʹ55,55ʺ |
21˚52ʹ55,67ʺ |
268992,71 |
6˚33ʹ26,49ʺ |
20 |
50˚04ʹ42,02ʺ |
21˚47ʹ29,52ʺ |
267695,92 |
6˚45ʹ34,34ʺ |
21 |
50˚13ʹ31,15ʺ |
22˚14ʹ38,49ʺ |
271688,84 |
6˚52ʹ57,41ʺ |
22 |
50˚24ʹ52,17ʺ |
22˚34ʹ41,44ʺ |
272689,33 |
6˚59ʹ36,49ʺ |
23 |
50˚35ʹ48,77ʺ |
22˚54ʹ33,33ʺ |
273945,98 |
7˚23ʹ22,61ʺ |
24 |
50˚54ʹ57,08ʺ |
23˚04ʹ23,18ʺ |
267111,05 |
7˚41ʹ28,72ʺ |