5.3 Математическая модель определения цены опциона

Опцион (options) - это право, но не обязательство, купить (call option) или продать (put option) некоторые финансовые инструменты, акции или валюту по оговоренной цене при наступлении определенного срока или до него. Покупатель опциона (buyer, holder) при заключении контракта уплачивает продавцу (seller, writer) некоторую премию (premium), которая равна рыночной цене опциона. Право в этой операции становится товаром.

Опционы распространяются на акции, динамику их цен (stock index option), различные долговые обязательства, в том числе облигации, казначейские векселя, долговые векселя и другие подобного рода бумаги, курсы валю, процентные ставки и другие объекты.

Встречаются опционы на право покупки/продажи некоторых видов товаров (металлы, нефть) и даже на право обмена акций одного вида на акции другого вида.

Существует два вида опционов: покупателя (call option) и опцион продавца (put option). Соответственно они представляют собой право купить (call) и право продать (put) определенный финансовый инструмент по заранее согласованной цене.

В математических моделях для определения цены опциона используется нормальное распределение. Для опциона покупателя (call) цена исполнения Е является центром распределения вероятностей, с увеличением рыночной цены прибыль увеличивается, одновременно уменьшается вероятность этого события.

Прибыль Вероятность

Р реализации

Р

E

0

Е Цена акции

Часто вместо нормального распределения используют логарифмически нормальное распределение, центр распределения относят к цене исполнения. В этом случае распределение вероятностей для ожидаемых рыночных цен является ассиметричным (вершина сдвинута влево), вероятность получения прибыли выше, чем потерь.

Цена опциона складывается на рынке, границы цены следующие: минимальная цена равна нулю, максимальная – цене акции, так как право на покупку вряд ли может превышать цену самой акции.

Обозначим,

с – цена опциона,

S – текущая цена акции, тогда

Изобразим геометрически верхние и нижние границы опциона покупателя (call)

Цена

опциона

С

Верхняя граница

цены

с=S-E Нижняя граница цены

S Цена акции

В то же время цена опциона к моменту истечения срока равна разности ожидаемой рыночной цены и цены исполнения:

Покажем расходы на приобретение акции непосредственно на рынке (стратегия А) и при покупке опциона колл (стратегия Б). Пример взят из учебника Четыркина Е.М. «Финансовая математика».

Пусть срок опциона и приобретение акции – один год, цена акции равна S, цена исполнения Е.

Возможные стратегии покупателя и их финансовые последствия представлены в таблице.

Стратегия покупателя	Расходы		Инвестиции
	S1<E	S1>E
А. Покупка акции Б. Опцион Премия Цена исполнения Итого для Б	S 0 E E	- S – E E S	Sv c Ev (c+Ev)

В графе «Расходы» этой таблицы показаны стоимостные показатели на день исполнения опциона, в графе «Инвестиции» - его расходы на день покупки опциона. Опцион при условии S<E не реализуется, акции могут быть куплены на рынке (стратегия А). Если S >E, то следует применить стратегию Б.

Премия для альтернативной ситуации определена в размере c=S-E. Величина Ev означает современную стоимость цены исполнения на день покупки опциона, v – дисконтный множитель.

Расходы на приобретение акции во всех ситуациях равны S.

Вместо (c+Ev) следует использовать

c = S – PV(E) = S – Sv,

где PV – оператор определения современной стоимости на момент выплаты премии, v – дисконтный множитель по рыночной процентной ставке.

Аналогичным образом получим ограничение для цены опциона продавца (put option):

c = PV(E) – S.

Приведенные выше выражения позволяют получить значения премии для нескольких величин цены акции. Так, если ожидаемая цена акции минимальна, то премия опциона колл, естественно, нулевая. Для ситуации, когда S = E, для put option, получим максимальную величину премии:

c =Е - PV(E).

В качестве математической модели опциона приведем наиболее известную - модель Блека – Шоулза.

Данная модель имеет много различных модификаций. Рассмотрим одну из них call option цен обыкновенной акции, при условии, что дивиденды по акции не выплачиваются до дня исполнения.

Выше уже говорилось о том, что цены опционов определяются на рынке и зависят от ряда известных и неизвестных на момент его покупки параметров. В модели Блека - Шоулза учитываются следующие параметры:

- уровень цены использования,

- текущая цена базового инструмента,

- распределение вероятностей изменения рыночной цены базового инструмента,

- размер процентной ставки,

- срок исполнения опциона.

Обозначим:

c –цена опциона,

S – текущая цена акции,

E – цена исполнения,

- дисконтный множитель на срок t по непрерывной ставке ,

t – срок до даты исполнения,

- непрерывная процентная ставка (сила роста), принятая для дисконтирования,

N(d₁) и N(d₂) – функции нормального распределения,

- дисперсия доходности акции (доходность измеряется в виде ставки непрерывных процентов).

Тогда цена опциона равна

Величина представляет собой дисконтированную на момент покупки опциона цену исполнения. Функции плотности нормального распределения определяются для параметров d₁ и d₂, которые рассчитываются по следующим формулам:

Значение функции плотности нормального распределения N(d) приведены в Приложении Е.

ПРИМЕР 37.

Положим, что на момент покупки call option известны следующие параметры: S=1000, E=1100, t=9 месяцев (0,75 года),

Найти цену опциона call.

РЕШЕНИЕ:

По таблице плотности нормального распределения (Приложение Е) находим:

Таким образом,

При сравнении формул c = S – PV(E) = S – Sv и c=S-E легко заметить, что в обеих формулах определяется разность величин S и Е. Однако, в формуле c = S – PV(E) = S – Sv эти величины подвергаются взвешиванию, в качестве весов выступают вероятности. Причем N(d₂) можно трактовать как вероятность исполнения опциона на момент истечения срока.