3.3 Наращение процентов раз в году. Номинальная и эффективная ставки
Номинальная ставка (nominal rate)
Период начисления по
сложным процентам не всегда равен году,
однако в условиях финансовой операции
указывается не ставка за период, а
годовая ставка с указанием периода
начисления – номинальная ставка
(
- годовая ставка,
- число периодов начисления в году; тогда
каждый раз проценты начисляются по
ставке
).
Формулу
наращения теперь можно представить
следующим образом:
,
где
- общее количество периодов начисления.
Если
- целое число, то для вычисления множителя
наращения можно пользоваться таблицей
сложных процентов.
ПРИМЕР 20: Вклад на сумму 100 тыс. руб. был положен в банк под 20% годовых. Найти наращенную сумму за год, применяя поквартальное начисление процентов.
Решение:
При
начислении процентов поквартально
количество периодов начисления в году
,
т.е.
тыс. руб.
Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитать несколькими способами, приводящими к различным результатам:
Схема сложных процентов:
,
Смешанная схема:
,
где
- количество начислений в году;
- годовая процентная ставка;
- целое число подпериодов в
годах, обозначается
;
- дробная часть подпериода, обозначается
.
ПРИМЕР 21: Какова сумма долга через 25 месяцев, если его первоначальная величина 500 тыс. руб., проценты сложные, ставка 20% годовых, начисление поквартальное. Сумму долга найти двумя способами.
Решение: Число периодов начисления
равно:
.
Применяя два метода наращения – общий
и смешанный, получим:
руб.,
руб.
Наращение смешанным методом дает больший результат.
Эффективная ставка (effective rate)
Эффективная ставка измеряет реальный относительный доход, который получен в целом за год, с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и -разовое наращение в год по ставке :
Обозначим эффективную
ставку через
.
По определению множители наращения по
эффективной и номинальной ставкам
должны быть равны между собой:
.
Из равенства множителей наращения следует:
и
.
Эффективная ставка
зависит от количества внутригодовых
начислений, увеличиваясь с ростом
;
причем при
эффективная ставка больше номинальной.
Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении: замена в договоре эффективной ставки на номинальную ставку (и наоборот) не изменяет финансовых обязательств обеих сторон.
ПРИМЕР 22: Каков размер эффективной ставки, если номинальная ставка равна 24% при помесячном начислении процентов?
Решение: Из
формулы
получаем:
.
Для участвующих в сделке сторон
безразлично применить ставку 24% при
помесячном начислении процентов или
годовую (эффективную) ставку 26,8242%.
Пример 23: Определить, какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12% годовых?
Решение: Из формулы
получаем:
,
т. е. 11,495%.
Две номинальные годовые
процентные ставки
и
называются эквивалентными, если
соответствующие им годовые эффективные
ставки
и
совпадают:
.
Расчет эффективной ставки является мощным инструментом финансового анализа, поскольку ее значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие различные условия: чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих равных условиях) она выгоднее для кредитора.