Наращение по сложным процентам при нецелом числе лет.
Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет.
В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием трех методов:
общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:
,
где
(
- период сделки,
- целое число лет,
- дробная часть года).
смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года – формулу простых процентов:
.
При выборе метода
расчета следует иметь в виду, что
множитель наращения по смешанному
методу оказывается несколько больше,
чем по общему, так как для
справедливо соотношение
.
Наибольшая разница наблюдается при
.
ПРИМЕР 18: В банке получен кредит под 9,5% годовых в размере 250 тыс. долларов со сроком погашения через два года и 9 месяцев. Определить сумму, которую необходимо вернуть по истечении срока займа двумя способами (общим и смешанным), учитывая, что банк использует германскую практику начисления процентов.
Решение: Общий метод:
тыс. долларов.
Смешанный метод:
тыс. долларов.
Таким образом,
по общему методу проценты по кредиту
составят:
тыс. долларов; а по смешанному методу
тыс. долларов.
Как видно, смешанная схема более выгодна кредитору.
Переменные ставки.
В том случае, когда
ставка сложных процентов меняется во
времени, формула наращения имеет
следующий вид:
,
где
- последовательные значения ставок,
- действующие периоды.
ПРИМЕР 19: В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% - в первые два года, 8% - в третий год, 5% - в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года.
Решение:
Так
как
,
то, учитывая условия задачи:
.
3.2 Сравнение схем простых и сложных процентов.
Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке .
Рисунок 6 – Сравнение наращенной суммы по простым и сложным процентам
Как видно из рисунка, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.
При любом ,
Если
,
то
;
Если
,
то
;
если
,
то
.
Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:
более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);
более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;
обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.
Как было выше указано, различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.
Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:
.
Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:
.