Целочисленная арифметика

Опр. Натуральными числами называются числа, используемые для счета предметов.

Это числа 1,2,3….Их бесконечно много. Если к ним добавить ноль и все числа противоположные натуральным ,т.е.-1,-2,…,то получится множество целых чисел.

Рассмотрим два натуральных числа a и b, причем a>=b. Тогда число a можно представить в виде a=b*q+r, где число a называется делимым, b – делителем, q – частным, r – остатком.

Всегда r<b. Для нахождения частного и остатка в Паскале существуют две операции div и mod.

q:= a div b; нахождение частного

r:= a mod b нахождение остатка

Например: 17 div 2 = 8

3 div 5 = 0

17 mod 2 = 1

3 mod 5 = 3.

Таким образом, в целочисленной арифметике нет дробей.

Для операции mod верны следующие равенства:

1) (c+d) mod n = ((c mod n) + (d mod n)) mod n

2) (c-d) mod n = ((c mod n) – (d mod n)) mod n

3) (cd) mod n = ((c mod n)(d mod n)) mod n.

Чаще всего при решении задач используют деление на 10. Например:

245 mod 10 =5, а 245 div 10=24. То есть операция mod 10 позволяет найти последнюю цифру числа, а div 10 отрезает ее.

С использованием операций div и mod решаются следующие простые задачи. Все натуральные числа входят в тип longint. В решениях мы используем тот факт, что операция n mod 10 позволяет найти последнюю цифру числа, а операция n div 10 отрезает последнюю цифру числа.

Рассмотрим следующие базовые задачи:

1. Дано натуральное число. Найти первую цифру числа.

2. Дано натуральное число. Найти вторую цифру числа.

3. Дано натуральное число. Найти сумму цифр числа.

4. Дано натуральное число. Найти количество цифр числа.

5. Дано натуральное число с нечетным количеством цифр. Найти среднюю цифру числа.

6. Дано натуральное число. Выяснить является ли оно палиндромом, то есть читается справа налево и слева направо одинаково.

7. Дано натуральное число. Выяснить соотношение между количествами двоек и пятерок в этом числе.

8. Поменять местами первую и последнюю цифры данного натурального числа (9<N<2*10⁹).

9. Найти самую большую и самую маленькую цифры данного натурального числа.

10. Выяснить образуют ли цифры натурального числа возрастающую последовательность.

Вот листинги решения этих задач. Они достаточно простые, поэтому некоторые даны без комментариев.

1. Дано натуральное число. Найти первую цифру числа

Program z1;

Var n:longint;

Begin

assign(input,'input.txt'); открытие файла input.txt для чтения

reset(input);

assign(output,'output.txt'); открытие файла output.txt для записи

rewrite(output);

read(n);

while n>9 do условие n>9 для того, чтобы оставить одну цифру в числе

n:=n div 10; отрезаем цифру

write(n);

close(output);

End

2. Дано натуральное число. Найти вторую цифру числа

Program z2;

Var n:longint;

Begin

assign(input,'input.txt');

reset(input);

assign(output,'output.txt');

rewrite(output);

read(n);

while n> 99 do условие n> 99 для того, чтобы оставить две цифры в числе

n:=n div 10;

write(n mod 10);

close(output);

End

3. Дано натуральное число. Найти сумму цифр числа

Program z3;

Var n,s:longint;

Begin

assign(input,'input.txt');

reset(input);

assign(output,'output.txt');

rewrite(output);

read(n);

s:=0;

while n>0 do пока в числе есть цифры

begin

inc(s,n mod 10); добавляем цифру в сумму

n:=n div 10;

end;

write(s);

close(output);

End.

4. Дано натуральное число. Найти количество цифр числа

Program z4;

Var n,kol:longint;

Begin

assign(input,'input.txt');

reset(input);

assign(output,'output.txt');

rewrite(output);

read(n);

kol:=0;

while n>0 do

begin

inc(kol); считаем цифру

n:=n div 10;

end;

write(kol);

close(output);

End.

5. Дано натуральное число с нечетным количеством цифр. Найти среднюю цифру числа

Program z5;

Var n,m,kol,i:longint;

Begin

assign(input,'input.txt');

reset(input);

assign(output,'output.txt');

rewrite(output);

read(n);

m:=n; делаем копию числа

kol:=0;

while m>0 do находим количество цифр в числе

begin

inc(kol);

m:=m div 10;

end;

kol:=kol div 2; находим количество цифр, которые надо отрезать

for i:=1 to kol do отрезаем лишние цифры и средняя цифра становится

n:=n div 10; в числе последней

write(n mod 10); выводим ее

close(output);

End.