II. Несобственные интегралы II рода (подынтегральная функция неограничена)

Неограниченные на отрезке функции могут вести себя по-разному, например:

Достаточно изучить случай, когда разрыв только в одном конце отрезка (если разрыв в двух концах, то разбить на два интеграла).

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b-] при любом как угодно малом >0, но неограниченна на

[b-, b].

О пр. Если существует конечный предел , то говорят, что несобственный интеграл II рода с особенностью в точке b сходится.

При этом величину предела принимают за величину несобственного интеграла: .

Если особенность в точке а, то .

Пример:

Для несобственных интегралов II рода справедлив признак сравнения, аналогичный признаку сравнения для несобственных интегралов I рода.

Если рассматривать несобственный интеграл II рода с особенностью во внутренней точке с, то нужно рассмотреть 2 интеграла с пределами от а до с-₁, и от с+₂ до b:

Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы (первого и второго рода)

О пр. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится соответствующий несобственный интеграл от абсолютной величины данной функции, то есть .

Из этого определения еще не ясно, является ли абсолютно сходящийся интеграл, сходящимся.

Теорема:

Если несобственный интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Дано: - сходится.

Доказать: - сходится.

Доказательство:

Рассмотрим функции: .

Сравним эти функции с 0 и с :

Таким образом:

Тогда по признаку сходимости несобственных интегралов, и сходятся, следовательно сходится и интеграл . = , значит - сходится, что и требовалось доказать.