§ 9. Формула Ньютона-Лейбница (основная формула интегрального исчисления)

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], тогда функция

(1)

является для нее первообразной, а значит всякая другая первообразная F(x) связана с Φ(х) соотношением

Φ(х)=F(x)+c, с=const. (2)

Равенство (2) с учетом (1) можно записать так:

(3)

Положим в равенстве (3) х=а, получим:

.

Тогда

.

Положим теперь х=b, получим

(4)

Формула (4) называется формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона-Лейбница. Она устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралом и показывает, что определенный интеграл функции равен разности 2-х значений любой первообразной этой функции. Формула (4) обычно записывается в виде . Она дает способ вычисления определенного интеграла. Для вычисления интеграла достаточно взять любую из первообразных F(x) и найти разность ее значений в верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Пример:

1) .

2) .

§ 10. Интегрирование по частям в определенном интеграле

В неопределенном интеграле формула интегрирования по частям имеет вид , где u, v – функции от независимой переменной х, непрерывные в рассматриваемом промежутке [a, b] вместе со своими производными.

Аналогичная формула имеет место и в определенном интеграле.

Действительно, так как ,

то функция является первообразной для функции

(по определению).

Тогда по формуле Ньютона-Лейбница

.

По свойству аддитивности определенного интеграла относительно подынтегральной функции имеем:

Следовательно

или

Примеры. Вычислить интегралы:

Итак,

Приведя подобные, получим:

Таким образом рекуррентная формула имеет вид

. (*)

Если индексы четные:

Если индексы нечетные, то:

Ниже будет показано, что .

§ 11. Замена переменной в определенном интеграле

Пусть требуется вычислить интеграл , где f(x) непрерывная на отрезке [a, b] функция.

Возьмем х = (t) и на функцию j (t) наложим следующие условия:

1. j (t) определена и непрерывна на некотором отрезке [, ] и ее значения не выходят за пределы отрезка [a, b], когда t изменяется от  до :

;

2. j ()=а; j ()=b;

3. На отрезке [, ]существует непрерывная производная .

Тогда имеет место равенство:

.

Доказательство:

Пусть F(x) – первообразная для функции f(x), тогда

.

Покажем, что функция F(j (t)) – первообразная для функции f(j (t)) .

Действительно , поэтому

Доказано, что .

Примеры.

1) Вычислить интегралы:

2) Доказать, что .

3) Интегрирование четных и нечетных функций по отрезкам, симметричным относительно начала координат.

а) Подынтегральная функция f(x) – четная, следовательно f(x)=f(-x).

Вычислим интеграл

.

Геометрический смысл

S₁

S₂

б) Подынтегральная функция f(x) – нечетная, следовательно f(-x)=-f(x).

Геометрический смысл

S₁

S₂

4) Интеграл от периодической функции

с периодом Т, f(x+T)=f(x).

Докажем, что

.

Рассмотрим последний интеграл.

Итак, .

До сих пор мы рассматривали интегралы на конечном промежутке, но часто встречаются интегралы и на бесконечном промежутке, а также интегралы от бесконечных функций.