§ 7. Основные свойства определенного интеграла

1. Если a > b , то

Если a=b, то принимается для любой функции. е

2. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, то есть

3. Если функция f(x) интегрируема на большем из трех отрезков [a, b], [a, c], [c, b], то она интегрируема на двух оставшихся, и при этом, имеет место равенство:

(Данное равенство не зависит от взаимного расположения точек a, b, c).

Доказательство:

1) Рассмотрим случай, когда a < c < b.

По условию f(x) интегрируема на [a, b]. По определению интеграла имеем , причем этот предел не зависит от способа деления отрезка [a, b] на части и выбора точек . Поэтому можем разбить [a, b] на части так, чтобы точка с всегда была точкой деления:

.

Тогда . Первая из этих сумм соответствует разбиению отрезка

[a, c], вторая – [с, b]. Переходя к пределу при наибольшем из отрезков разбиения →0, получим:

.

2) Рассмотрим теперь другое расположение точек. Например, a < b < c.

Тогда по доказанному выше

Отсюда

4. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то и функция k f(x), где k=сonst также будет интегрируема на этом отрезке и при этом

.

Докажите это утверждение самостоятельно, используя определение .

5. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a, b], то и их алгебраическая сумма f(x)  g(x) также интегрируема на этом отрезке, причем

.

Докажите это утверждение самостоятельно, используя

определение .

6. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], где a < b и пусть при этом f(x)  0, , тогда

.

Доказательство:

Составим интегральные суммы

.

Заметим, что по условию, а так как a < b, то и . Поэтому и суммы . Переходя к пределу интегральных сумм при →0, получим, что и

.

Аналогично доказывается, что , если f(x)  0,

7. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a, b],

где a < b, и при этом, f(x)  g(x), тогда

.

Доказательство:

На основании свойства 5 функция f(x) - g(x) интегрируема на [a, b] и, кроме того, f(x) - g(x) 0, a < b. Тогда по свойству 6

.

Применяя к левой части последнего неравенства свойство 5, получим

. Откуда и следует утверждение

.

8. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], где

a < b, тогда и функция также интегрируема на этом отрезке, и имеет место неравенство

.

Доказательство:

Из свойств абсолютной величины следует, что имеют место неравенства .

Проинтегрируем и воспользуемся свойством 7, получим:

То есть .

(Здесь мы учли, что неравенства равносильны.)

9. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], где

a < b, и при этом f(x) удовлетворяет неравенству . Тогда

.

Доказательство:

Разобьем отрезок [a, b] произвольным образом на n частей, очевидно, что . Умножим обе части этого неравенства на . Так как a < b, то >0, и знаки неравенств не изменятся:

.

Просуммировав, получим:

Переходя к пределу при →0, получим требуемое:

.