2). Задача о работе переменной силы.

Если материальная точка под действием силы F, не меняющейся ни по величине, ни по направлению, перемещается на расстояние l в направлении действия силы, то работа силы, как известно из механики, равна произведению величины силы F на перемещение l , то есть

.

Рассмотрим теперь тот случай, когда сила F меняется по своей численной величине, но сохраняет постоянное направление. Пусть под действием этой силы материальная точка перемещается по прямой, направленной вдоль линии действия силы.

Поставим задачу: вычислить работу переменной силы F вдоль отрезка прямой.

Примем прямую, вдоль которой перемещается материальная точка, за ось ОХ.

Пусть начальная и конечная точки пути имеют соответственно абсциссы а и b (a<b). В каждой точке отрезка [a, b] величина силы имеет вполне определенное значение, то есть является некоторой функцией абсциссы х:

F=f(x).

Эту функцию будем считать непрерывной. Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков [x₀, x₁], [x_1, x₂],…, [x_n-1, х_n], длины которых соответственно равны: .

Работа на всем пути отрезка [a, b] равна сумме работ на всех отрезках [x_i-1, x_i] пути, где i=1, 2,…n. Обозначим искомую работу на всем пути через A, а работу на участке ∆х_i через A_i, имеем:

.

Но определить работу на малом участке так же трудно, как и на всем пути, так как сила непостоянна. Однако, если отрезки разбиения [x_i-1, x_i], где i=1, 2,…n, брать достаточно малыми, то из непрерывности функции f(x), сила на каждом из этих участков пути изменяется незначительно. Выберем на каждом отрезке [x_i-1, x_i] по точке ξ_i, , i=1, 2,…n, и предположим, что на каждом таком отрезке величина силы имеет постоянное значение, равное значению силы в точке ξ_i, F_i=f(ξ_i). При этом предположении работа силы F_i на отрезке пути

[x_i-1, x_i] будет равна F_i ∆x_i=f(ξ_i)∆x_i.

В действительности же, на отрезке [x_i-1, x_i] сила непостоянна, поэтому f(ξ_i)∆x_i дает нам лишь приближенное значение работы на участке ∆x_i. Таким образом, мы имеем приближенное равенство

.

Просуммировав по всем отрезкам, получим приближенное значение работы А на всем пути:

.

Это приближенное равенство будет тем точнее, чем меньше ∆x_i. Поэтому за точное значение работы естественно принять предел построенных сумм при условии, что наибольшая длина λ отрезков ∆x_i стремится к 0, т.е.

.

Отметим, что к нахождению предела сумм, аналогичных рассмотренным выше, приводит целый ряд задач математики, физики, экономики и др.

§ 2. Понятие определенного интеграла

Пусть на некотором отрезке [a, b] задана функция

y=f(x).

1. Разобьем отрезок [a, b] произвольным образом на n частей точками x₁, x₂,…, x_n-1, при этом

a=x₀<x₁ <…<x_i-1<x_i<…< x_n=b.

2. На каждом из полученных отрезков разбиения [x_i-1, x_i] (i=1, 2,…,n) выберем произвольным образом точку ξ_i , то есть . Найдем значение функции в этой точке f(ξ_i).

3. Составим сумму произведений вида (функции f(x) в выбранных точках ξ_i на длину соответствующих отрезков разбиения):

.

Эту сумму можно записать так:

.

Сумма (1) называется интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [a, b]. Эта сумма, вообще говоря, зависит от способа разбиения отрезка на части и от выбора промежуточных точек ξ_i. Очевидно каждому разбиению соответствует своя сумма.

Возьмем числовую последовательность положительных чисел δ₁, δ₂,…, δ_n,…, стремящуюся к нулю. Пусть разбиению, при котором длина наибольшего отрезка λ₁<δ₁, соответствует сумма σ₁. Разбиению, при котором λ₂<δ₂, соответствует сумма σ₂,…

Если для каждой последовательности разбиения, для которой δ₁, δ₂,…, δ_n,…стремится к 0, последовательность интегральных сумм σ₁, σ₂,…, σ_n,… стремится к некоторому числу I , одному и тому же при различном выборе точек ξ_i, то это число I называется пределом сумм σ, при λ, стремящемся к 0. На языке ξ, δ это определение звучит так:

О пр. Число I называется пределом интегральных сумм функции y=f(x) на отрезке [a, b], если для любого существует , что как только наименьшая из длин отрезков разбиения становится меньше δ, выполняется неравенство:

,

как бы ни производилось разбиение отрезка и ни выбирались промежуточные точки ξ_i на отрезках разбиения.

Опр. Если существует конечный предел I интегральных сумм σ, при стремлении наибольшего из отрезков разбиения λ к 0, то этот предел называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a, b].

Обозначается , а – нижняя граница интегрирования, b – верхняя граница интегрирования, х - переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

Итак,

Поставим теперь задачу: выяснить условия, при которых интегральные суммы σ имеют конечный предел, то есть существует определенный интеграл.

Заметим, что для того чтобы функция f(x) была интегрируема на отрезке [a, b] (то есть существовал определенный интеграл от этой функции), необходимо чтобы она была ограничена на этом отрезке.

Действительно, если бы функция f(x) была на отрезке [a, b] неограничена, то при любом разбиении отрезка [a, b] на части, нашелся бы такой отрезок разбиения, на котором функция была бы неограничена. Тогда точку ξ_i на этом отрезке можно выбрать таким образом, что значение функции в этой точке f(ξ_i), а с ним и суммы σ будут стремиться к бесконечности. При этих условиях конечный предел I для интегральных сумм σ, очевидно, не существует.

Значит, необходимым условием интегрируемости функции является ее ограниченность на [a, b].

Но это условие не является достаточным, то есть не всякая ограниченная на отрезке [a, b] функция, интегрируема.

Например, функция Дирихле:

.

Эта функция ограничена на любом отрезке [a, b], так как множество ее значений .

Но интегральные суммы σ=0, если будем выбирать точки ξ_i иррациональными, и σ =b-a, если будем выбирать ξ_i рациональными. Таким образом, интегральные суммы σ не имеют предела, то есть функция Дирихле не интегрируема.

В дальнейшем мы будем наперед предполагать рассматриваемую функцию f(x) ограниченной на отрезке [a, b], то есть .