§ 6. Классы интегрируемых функций

Рассмотрим вопрос о том, какие же функции являются интегрируемыми.

1. Интегрируемость непрерывной функции.

Теорема:

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство:

Так как функция f(x) непрерывна на [a, b], то она равномерно непрерывна на этом отрезке. Тогда по следствию из теоремы Кантора, отрезок [a, b] можно разбить на конечное число частей так, что на каждой из них колебание w_i функции будет меньше , w_i< (1). Составим для данного разбиения суммы Дарбу и рассмотрим разность (2).

Так как - любое, сколь угодно малое число, то и тоже сколь угодно мало. Итак, для любого , существует , что если наибольший из отрезков разбиения λ<δ, то выполняется неравенство .

Это означает, что , а это значит, что функция интегрируема на отрезке [a, b].

2. Интегрируемость ограниченной функции, имеющей конечное число точек разрыва.

Теорема:

Если функция f(x) ограничена на [a, b] и имеет на нем конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство:

Можем считать, не нарушая общности, что на [a, b] существует только одна точка разрыва х ^/. Возьмем произвольное число >0 и окружим точку х ^/ -окрестностью. На отрезке [a, х ^/- ] функция непрерывна, следовательно для данного можно указать такое , что если [a, х^/- ] разбить на части с длинами, меньшими δ₁, то колебание функции на каждой из этих частей будет меньше . Аналогично для отрезка [х ^/+ , b] можно указать , такое что, если этот отрезок разбить на части с длинами меньшими , то колебание функции на каждой из частей будет меньше . Из δ₁ и δ₂ выберем наименьшее и обозначим его δ₀ . Тогда, если отрезок [a, х ^/- ] и [х ^/+ , b] разбить на части с длинами, меньшими δ, то колебание функции на каждой из частей будет меньше . Кроме того, мы можем взять . Разобьем отрезок [a, b] на части с длинами, меньшими δ.

Тогда получим отрезки двух типов:

1 тип – отрезки, целиком лежащие вне окрестности;

2 тип – отрезки либо целиком лежащие в окрестности, либо частично попадающие в нее.

Так как функция ограничена, то колебания функции на каждом промежутке не превосходят колебаний функции на всем [a, b]. Обозначим его Ω. Разобьем сумму на две суммы , соответствующие отрезкам 1 и 2 типов.

Имеем: .

Заметим, что длины всех отрезков, целиком лежащих в окрестности точки х ^/, меньше 2 . Длины отрезков частично попадающих в окрестность, а их не более двух, меньше 2δ < 2 .

Для второй суммы имеем: .

Тогда

Показано, что .

Последнее равенство говорит о том, что функция интегрируема.

3. Интегрируемость монотонной и ограниченной функции.

Теорема:

Если функция f(x) монотонна и ограничена на [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство:

Пусть функция f(x) возрастает на [a, b]. Тогда ее колебание на частичном отрезке [x_i-1 , x_i] будет равно , где i=1, 2,…n. Пусть любое положительное число. Возьмем . Разобьем [a, b] на части с длинами меньшими δ, тогда если наибольший из отрезков разбиения λ_i<δ, то

.

Таким образом, , , что говорит об интегрируемости функции на данном отрезке.