§ 4. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции

Теорема:

Для того чтобы функция f(x) была интегрируема на отрезке [a, b], необходимо и достаточно, чтобы

.

Доказательство:

1) Докажем необходимость.

По условию функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], значит и ограничена на нем. Составим нижнюю и верхнюю суммы Дарбу s и S. Обозначим интеграл . Интегрируемость функции означает, что для любого существует , такое, что как только наибольший из отрезков разбиения λ< δ , так будет выполняться неравенство . Последнее неравенство равносильно неравенствам:

Как видим, являются для интегральных сумм σ соответственно нижней и верхней границами. В то же время, согласно свойству сумм Дарбу, точной нижней границей для σ является s, а точной верхней – S. Поэтому

, .

Учитывая это, получим: .

Следовательно, .

Таким образом , тогда .

2) Докажем теперь достаточность.

Пусть , докажем, что f(x) интегрируема на отрезке [a, b].

По условию, - это значит, для любого , существует , что как только наибольший из отрезков разбиения , выполняется неравенство (1). Используя неравенства и учитывая последнее неравенство, получим

.

Следовательно, (они постоянны). Обозначим их общее значение через I= . Тогда (2), (3). Из неравенств (1), (2) и (3) следует, что (4) (разность между , то тем более разность чисел I и σ, заключенных между s и S, меньше ),что означает, что , а это значит, что функция f(x) является интегрируемой на [a, b].

Замечание: Обычно эта теорема используется в другой форме.

Если обозначить колебание функции на отрезке [x_i-1, x_i] через w_i , то . Тогда условие существования интеграла будет таким:

.

§ 5. Понятие равномерно непрерывной функции. Равномерная непрерывность непрерывной функции на отрезке

Пусть функция у=f(x) определена в некотором промежутке множества Х и непрерывна в точке . Тогда , что означает: для любого , существует , что для всех выполняется неравенство .

Предположим теперь, что функция f(x) непрерывна на всем множестве Х , то есть непрерывна в каждой точке . Пусть , тогда функция f(x) непрерывна в этой точке, а по определению непрерывности это означает, что для любого , существует что для всех выполняется неравенство . Возьмем другую точку , в ней функция тоже непрерывна, то есть для того же

и т.д.

Таким образом, для каждой точки в отдельности по заданному найдется своя δ_i -окрестность. Числа δ_i зависят не только от , но и от точек x_i.

Если бы множество Х было конечным, то мы смогли бы выбрать такое, что оно подошло бы для всех рассматриваемых точек . Но для бесконечного множества Х так рассуждать нельзя (из бесконечного множества {δ_i}нельзя выбрать наименьшее число).

Если для функции f(x), непрерывной в промежутке Х, по заданному найдется такое δ, которое подойдет для всех точек , то эта функция будет равномерно непрерывной в х.

О пр. Функция y=f(x) называется равномерно непрерывной в промежутке Х , если для любого , существует , что для всех выполняется неравенство , где бы в пределах рассматриваемого промежутка Х не лежали точки х₀ и х.

В этом случае число δ оказывается зависимым только от и не зависимым от выбора точки . То есть δ годится для всех точек одновременно.

Теорема Кантора:

Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b], то она и равномерно непрерывна на этом отрезке.

Теорема доказывается методом от противного (см. [3] ).

Из теоремы непосредственно вытекает такое следствие

Следствие: Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда по заданному найдется такое , что если отрезок произвольно разбить на части с длинами, меньшими δ, то в каждом из них колебание функции f(x) будет меньше .

Замечание: Если функция f(x) при изменении х в каком-либо промежутке Х ограничена, то ее колебанием в этом промежутке называется разность w=M-m между ее точной верхней и нижней границами значений функции на Х. Если речь идет о непрерывной функции на отрезке [a, b], то колебанием будет попросту разность между наибольшим и наименьшим значениями функции в этом отрезке.

Доказательство следствия:

Действительно, если по заданному >0 в качестве δ взять число, о котором говорится в определении равномерной непрерывности, то в частичных отрезках с длинами, меньшими δ, разность между любыми двумя значениями функции будет по модулю меньше . В частности, это справедливо и относительно наибольшего и наименьшего из этих значений, разность которых и дает колебание функции в упомянутом частичном отрезке.