1.1. Основные теоретические положения по теме 1

Основные законы распределения наработки до отказа

Экспоненциальное распределение. Непрерывная случайная величина — наработка системы до отказа может описываться различными законами распределения в зависимости от свойств системы и ее элементов, условий работы, характера отказов и др. Наибольшее распространение получило экспоненциальное (показательное) распределение, при котором функция распределения наработки до отказа:

F(t) = l-е , (1.1)

где — параметр этого распределения.

Плотность распределения:

, (1.2)

Функция надежности:

P(t)= e . (1.3)

Вероятность отказа системы до момента t₁ и вероятность безотказной работы до момента t₁ соответственно будут:

; ;

Средняя наработка до отказа:

, (1.4)

т.е. равна величине, обратной параметру экспоненциального распределения.

Дисперсия наработки до отказа:

(1.5)

Интенсивность отказов:

(1.6)

является постоянной величиной, не зависящей от времени и численно равной параметру экспоненциального распределения.

Отметим одно характерное свойство, присущее только экспоненциальному распределению: вероятность Р(t₁, t₂) безотказной работы системы на интервале (t₁, t₂) (при условии, что в момент t₁ система работоспособна) зависит только от длины интервала (t₂—t₁) и не зависит от времени t₁ предшествующей работы системы, т. е. от ее «возраста»:

(1.7)

Так как для экспоненциального закона характерно постоянство интенсивности отказов =const, то область применения этого закона — системы и элементы, где можно не учитывать ни период приработки, ни участок старения и износа (например, многие средства вычислительной техники и регулирования). Можно показать, что экспоненциальное распределение хорошо описывает время безотказной работы сложных систем, состоящих из большого числа разнородных компонентов. Наконец, одна из основных причин широкого использования экспоненциального закона заключается в том, что вследствие неизменности величины расчеты надежности при применении этого распределения наиболее просты.

Нормальное распределение. В отличие от экспоненциального нормальное распределение используют для описания таких систем и особенно их элементов, которые подвержены действию износа. Функция и плотность распределения наработки до отказа Т при этом соответственно будут:

, (1. 8)

, (1.9)

где и т — параметры нормального распределения.

Средняя наработка до отказа и дисперсия наработки до отказа:

=m; D[T]= ². (1. 10)

Для практического использования соотношений (1.8) и (1.9) перейдем от случайной величины Т к иной случайной величине

Z=(T—m)/ , (1.11)

имеющей математическое ожидание M[Z]=0 и дисперсию D[Z] = 1.

Согласно правилам определения закона распределения функции случайного аргумента плотность распределения величины Z

.

Соответственно функция распределения величины Z

.

Очевидно, что функция является симметричной, т. е. = , а, следовательно,

В таблицах часто приводят значения не функции Ф(z), а несколько иной функции

(1.12)

Функции Ф(z) и Ф₀ связаны между собой соотношением

(1.13)

Приведем значения функции (1.12) для нескольких положительных z:

Ф₀(0,5) =0,191; Ф₀(1) =0,343; Ф₀(2) =0,477.

Нормальное распределение описывает поведение случайных величин в диапазоне (— , ). Однако наработка до отказа является неотрицательной величиной, чтобы это учесть вместо нормального, в принципе, должно использоваться усеченное нормальное распределение. Область возможных значений случайной величины Т может быть различной; ниже примем, что эта область (0, ), и проведем усечение распределения в точке t = 0. Тогда функция распределения случайной величины Т имеет вид:

где с — нормирующий множитель; , т — параметры распределения.

При этом плотность распределения

.

Значение с выбирают из условия, что площадь под кривой плотности распределения равна единице. Использовав подстановку (1.11), можно показать, что

.

В усеченном нормальном распределении средняя наработка до отказа и дисперсия наработки до отказа

; ,

где .

Усеченное нормальное распределение обычно применяют, если m<3 . В противоположном случае использование более простого нормального (неусеченного) распределения дает достаточную точность.

Распределение Вейбулла — Гнеденко. В теории надежности получило применение распределение Вейбулла — Гнеденко, описываемое функцией и плотностью распределения соответственно

; .

Это двухпараметрическое распределение, где параметр k определяет вид плотности распределения, параметр — его масштаб. Так, при k=1 распределение Вейбулла — Гнеденко совпадает с экспоненциальным, когда интенсивность отказов постоянна; при k>1 интенсивность отказов монотонно возрастает, при k <1 монотонно убывает. Распределение Вейбулла — Гнеденко может быть применено для описания наработки до отказа ряда электронных и механических технических средств, включая период приработки.

Соотношения для определения показателей надежности для трех рассмотренных выше распределений даны в табл. 1.1.

Табл. 1.1.

Распре-деление	Функция надёжности P(t)	Плотность распределения	Интенсивность отказов	Средняя наработка до отказа
Экспонен-циальное
Нормаль- ное			см. прим.
Вейбулла-Гнеденко

Примечание: ,

где , , , , - параметры соответствующих распределений; Г-гамма функция.