1.2. Примеры решения задач по теме 1

Пример 1. Функция вероятности безотказной работы (ВБР) системы описывается выражением .

Необходимо определить значение ВБР и среднюю наработку до отказа системы для оперативного времени t=100 ч, если интенсивности отказов ее элементов .

Неправильное решение задачи:

,

.

Правильное решение задачи:

ч.

.

Пример 2. Функция ВБР объекта имеет вид . Необходимо определить интенсивность отказов и среднюю наработку до отказа при значениях параметра а: , и , если оперативное время составляет .

Неправильное решение задачи:

а) так как задан закон распределения Вейбулла:

;

при ;

при ;

б) ;

; ;

; .

Из этого примера видно, что расхождение результатов расчета может быть недопустимо большим. В варианте «а» правильно рассчитан показатель и невер­но , а в варианте «б» - все наоборот.

Правильное решение задачи требует расчета значений показателя так, как это выполнено в варианте «а», показателя как в варианте «б».

1.3. Контрольные вопросы и задания по теме 1

1. Перечислите основные состояния, в которых может находиться система, элемент системы.

2. Что понимают под отказом, повреждением, восстановлением системы?

3. Дайте определение понятия «надежность АС» и его составляющих.

4. По каким признакам выделены группы ПН? Перечислите их.

5. Назовите основные показатели безотказности (ремонтопригодности, долговечности, комплексные ПН).

6. Запишите основные расчетные соотношения, связывающие между собой показатели безотказности в общем случае.

7. Назовите области применения основных законов распределения наработки до отказа.

8. Дайте вероятностные и статистические определения показателей надежности невосстанавливаемых систем.

9. В чем отличие коэффициентов готовности и оперативной готовности невосстанавливаемых систем?

Тема 2. Методы расчета надежности невосстанавливаемых систем

В результате изучения темы 2 студенты должны знать и уметь:

• области практического применения существующих методов оценки надежности невосстанавливаемых АС;

• принципы эквивалентного преобразования АС с простой структурой;

• принципы формирования минимальных путей и сечений;

• принципы выбора особых элементов в АС со сложной структурой;

• применять классический метод, метод перебора состояний, метод минимальных путей и сечений, метод разложения относительно особого элемента для получения количественных оценок показателей надежности невосстанавливаемых систем.

2.1. Основные теоретические положения по теме 2

При расчете вероятности безотказной работы, средней наработки до возникновения первого отказа элементы системы рассматриваются как невосстанавливаемые. В этом случае, если структура системы сводится к основному или резервному соединению элементов, при условии, что работа одного из параллельно соединенных элементов обеспечивает работоспособное состояние системы, показатели безотказности последней определяются по показателям безотказности элементов с использованием классического метода расчета надежности.

2.1.1. Классический метод

Поскольку при основном (последовательном) соединении элементов (см. рис. 2.1, а) работоспособное состояние системы имеет место при совпадении работоспособных состояний всех элементов, то вероятность этого состояния системы определяется произведением вероятностей работоспособных состояний всех элементов. Если система состоит из п последовательно включенных элементов, то при вероятности безотказной работы каждого из элементов р_i(t) вероятность безотказной работы системы

. (2.1)

При параллельном соединении элементов и при условии, что для работы системы достаточно работы одного из включенных параллельно элементов, отказ системы является совместным событием, имеющим место при отказе всех параллельно включенных элементов. Если параллельно включены т элементов (см. рис. 2.1, б) и вероятность отказа каждого q_j(t) = 1—p_j(t), то вероятность отказа этой системы

. (2.2)

Если структурная схема надежности системы состоит из последовательно и параллельно соединенных элементов, то расчет ее надежности может быть произведен с использованием (2.1), (2.2).

а)

б)

Рис. 2.1. Соединение элементов системы: а – последовательное (основное); б – параллельное (резервное)

Чтобы определить значение средней наработки системы до отказа и другие показатели надежности, требуется знать законы распределения времени безотказной работы элементов (наработки до отказа) системы. Поскольку на участке нормальной эксплуатации с удовлетворительной точностью в качестве закона распределения времени безотказной работы элементов может быть принят экспоненциальный закон, то при основном соединении элементов, если выражение (2.1) примет следующий вид:

, (2.3)

где .

Таким образом, при основном соединении элементов, имеющих экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы, закон распределения времени безотказной работы системы также будет экспоненциальным, в соответствии с этим имеем:

; ; ; . (2.4)

При резервном соединении т элементов, имеющих экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы, вероятность отказа группы параллельно включенных элементов:

. (2.5)

Если все элементы равнонадежны и , то

; .

Таким образом, при резервном соединении элементов экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы не сохраняется.

Во многих случаях рассмотренный выше способ расчета надежности не может быть использован, так как не всегда схема надежности содержит последовательно-параллельное соединение элементов.

Существуют несколько разновидностей классического метода расчета надежности систем со сложной структурой, часть из которых будет рассмотрена ниже применительно к анализу надежности мостиковой схемы, изображенной на рис. 2.2. (Эта схема не сводится к последовательно-параллельному соединению элементов.) Для всех элементов схемы известны вероятности безотказной работы р₁, р₂, р₃, р₄, p₅ и соответствующие им вероятности отказа типа «обрыв» q₁, q₂, q₃, q₄, q₅. Необходимо определить вероятность наличия цепи между точками а и b схемы.

Рис. 2.2. Мостиковая схема соединения элементов