2.1.3. Метод разложения относительно особого элемента

Этот метод основан на использовании формулы полной вероятности. В сложной системе выделяется особый элемент, все возможные состояния H_i которого образуют полную группу, . Если анализируемое состояние системы А, то его вероятность

, (2.8)

Второй сомножитель в (2.8) определяет вероятность состояния А при условии, что особый элемент находится в состоянии H_i. Рассмотрение H_i - го состояния особого элемента как безусловного позволяет упростить структурную схему надежности и свести ее к последовательно-параллельному соединению элементов.

Так, в рассматриваемой мостиковой схеме (рис. 2.2) выделение элемента 5 в качестве особого с двумя возможными состояниями (1 —работоспособное и 2 — неработоспособное, т.е. Р{Н₁}=р₅; Р{Н₂}=q₅ ) позволяет от структурной схемы, представленной на рис. 2.2, перейти при безусловно работоспособном состоянии элемента 5 к схеме, представленной на рис. 2.3, а. При отказе элемента 5 структурная схема имеет вид, представленный на рис. 2.3, б. Если состояние А — наличие цепи между а и b, то в соответствии с (2.1) и (2.2) имеем:

;

.

Рис. 2.3. Структурные схемы мостикового соединения элементов, соответствующих работоспособному (а) и неработоспособному (б) состояниям элемента 5

Сопоставление обоих методов расчета надежности показывает, что выделение особого элемента с последующим анализом упрощенных структурных схем существенно сокращает математические выкладки.

2.1.4. Метод минимальных путей и сечений

В ряде случаев для анализа надежности сложной системы бывает достаточным определить граничные оценки надежности сверху и снизу.

При оценке вероятности безотказной работы сверху P_Cmax определяют минимальные наборы работоспособных элементов (путей), обеспечивающих работоспособное состояние системы. При формировании пути, считая, что все элементы находятся в неработоспособном состоянии, последовательным переводом элементов в работоспособное состояние производят подбор вариантов соединений элементов, обеспечивающих наличие цепи.

Набор элементов образует минимальный путь, если исключение любого элемента из набора приводит к отказу пути. Из этого следует, что в пределах одного пути элементы находятся в основном соединении, а сами пути включаются параллельно. Так, для рассмотренной мостиковой схемы (рис. 2.2) набор минимальных путей представлен на рис. 2.4. Поскольку один и тот же элемент включается в два параллельных пути, то в результате расчета получается оценка безотказности сверху:

.

При определении минимальных сечений осуществляется подбор минимального числа элементов, перевод которых из работоспособного состояния в неработоспособное вызывает отказ системы. При правильном подборе элементов сечения возвращение любого из элементов в работоспособное состояние восстанавливает работоспособное состояние системы. Поскольку отказ каждого из сечений вызывает отказ системы, то первые соединяются последовательно. В пределах каждого сечения элементы соединяются параллельно, так как для работы системы достаточно наличия работоспособного состояния любого из элементов сечения.

Схема минимальных сечений для мостиковой схемы приведена на рис. 2.5. Поскольку один и тот же элемент включается в два сечения, то полученная оценка является оценкой снизу:

.

Рис. 2.4. Набор минимальных путей

Рис. 2.5. Набор минимальных сечений

В рассматриваемом примере оценка безотказности снизу совпадает с фактической безотказностью, рассчитанной по первым двум методам.

Таким образом, при составлении минимальных путей и сечений любая система преобразуется в структуру с параллельно-последовательным или последовательно-параллельным соединением элементов.