1.4. Преобразование системы координат.

Уравнение линии в новой системе координат

1. Параллельный перенос ДСК. у

Рассмотрим две ДСК, имеющие М

одинаковое направление осей, но

различные начала координат.

В системе координат Оху точка

относительно системы О х

имеет координаты . Тогда

и

В координатной форме полученное векторное равенство имеет вид

или . (2)

Формулы (2) представляют собой формулы перехода от “старой“ системы координат Оху к “новой“ системе координат и наоборот.

Пример 5. Получить уравнение окружности выполнив параллельный перенос системы координат в центр окружности.

Из формул (2) следует

2. Поворот системы координат.

у М

Рассмотрим две системы координат

с общим началом, но с различными

направлениями осей. В системе коор-

динат Оху вектор , О х

а в системе координат вектор

.

Разложим векторы по базису :

Тогда имеем ,

откуда, переходя к координатной форме, получим формулы перехода

(3) (4)

Формулы (3) представляют собой переход от “старой“ системы координат Оху к “новой“ системе , а формулы (4) – наоборот.

Пример 6. Составить уравнение гиперболы при повороте системы координат на угол .

Используя формулы (3), получаем

или (каноническое уравнение гиперболы).

3. Общий случай: поворот вместе с параллельным переносом осущест-вляется согласно формулам (2) и (3):

(5)

Для того, чтобы получить уравнение линии в новой системе координат, необходимо в это уравнение подставить формулы (5).

Лекция № 9. Тема 2 : Прямая линия на плоскости

2.1. Уравнения прямой линии

Теорема. В ДСК на плоскости каждая прямая линия может быть задана линейным уравнением и наоборот, т.е. любое уравнение вида в ДСК определяет на плоскости прямую линию.

П усть – нормальный вектор у

прямой (вектор перпендикулярный прямой)

и точка принадлежит данной

прямой. Если - текущая точка

прямой, тогда для всех точек

прямой выполняется равенство О х

(1)

Уравнение (1) является уравнением первой степени.

Обратно. Пусть дано линейное уравнение и пусть точка принадлежит линии, которая определена этим уравнением. Тогда получаем равенства:

Вычитая их последовательно, имеем

Если ввести обозначение – нормальный вектор, то полученное уравнение (1) будет определять прямую линию. После раскрытия скобок получаем уравнение которое называется общим уравне-нием прямой.

Замечание 1. Из доказательства теоремы следует, что вектор является нормальным вектором прямой. у

Кроме того, прямая может быть

определена, если будет задана точка

, принадлежащая прямой

и вектор , которому она

параллельна (направляющий вектор). О х

Пусть точка  текущая точка прямой. Из коллинеарности векторов и следует равенство

(2)

Уравнение (2) называется векторным параметрическим уравнением прямой. Переходя к координатной форме, получим

(3)

Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой. Исключая из них параметр t, то приходим к уравнению прямой с угловым коэффициентом (или приведенное уравнение прямой) (4)

который образует пря- y

мая с осью Ох; b

прямой на оси Оу

O x

Замечание 2. Если прямая параллельна оси Оу, то её уравнение имеет вид х = х₀ (в этом случае т = 0). Если – оси Ох, то у = у₀ (п = 0).