4.3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравнений
(2)
Поскольку система
(2) всегда совместна, так как
то вопрос может стоять только о
единственности решения системы:
1. Если r = п, то система имеет единственное нулевое решение;
2. Если r < п, то, аналогично, r неизвестных выражаем через остав-шиеся п r и система имеет бесконечное множество решений;
Пример 4. Решить систему уравнений
Определим ранг основной матрицы:
1 шаг: Прибавим ко 2-ой строке 1-ю строку, умноженную на 2;
к 3-ей строке 1-ю строку, умноженную на 1;
к 4-ой строке 1-ю строку, умноженную на 3;
2 шаг: Прибавим к 3-ей строке 2-ю строку, умноженную на 2;
3 шаг:
Прибавим к 4-ой строке 3-ю строку,
умноженную на
;
(1
шаг)
(2
шаг)
(3
шаг)
Таким образом, r = п и данная система уравнений имеет единствен-ное нулевое решение
Векторная алгебра Лекция № 5. Тема 1 : Векторы
Определение вектора
Все величины, с которыми нам приходилось встречаться до настоящего времени в физике, технике были двух видов: скалярные, которые харак-теризуются одним числовым значением и векторные, характеризуются числовым значением и направлением.
Пример 1. Скалярные величины: масса, объём, температура и т.д. Векторные величины: сила, скорость, ускорение и т. д.
Определение
1. Направленный
отрезок называется вектором и обозна-чается
.
А
В
Определение 2.
Расстояние между началом и концом
вектора называется его длиной или
модулем и обозначается
Если
или
,
то векторы
называются соответственно единичным
и нулевым.
Определение 3. Векторы называются коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны.
Определение 4. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.
Определение 5. Два вектора называются равными, если они коллине-арные, одинаково направлены и имеют равные модули (равные длины).
Поэтому векторы, которые рассматриваются, называются свободными.
Пусть задан
некоторый вектор
и ось l.
Определение 6.
Проекцией вектора
на ось l
называется величина
где
угол между вектором
и осью l.
В
А
l
1.2. Линейные операции над векторами
1. Произведение вектора на число.
Определение 7.
Произведением вектора
на число
называется вектор
определяемый следующими условиями:
вектор
коллинеарен вектору
векторы
и
одинаково направлены, если
и противоположны, если
Пример
2. Построить
вектор
Из этого определения следует условие коллинеарности двух векторов:
Пусть
ненулевой вектор, тогда для любого
коллинеарного ему вектора
существует единственное число
удовлетворяющее равенству
Действительно,
если векторы одинаково направлены и
если они противоположно направлены.
2. Сложение векторов.
Определение 8.
Суммой двух векторов
и
называется вектор
выходящий из их общего начала, который
служит диагональю паралле-лограмма,
сторонами которого являются векторы
и
,
и обозначается
или
Второй способ построения суммы двух векторов легко распространить на любое число слагаемых. В результате получаем, так называемое правило многоугольника:
Чтобы построить сумму векторов, нужно в конце первого вектора построить второй, в конце второго – третий и т.д. Вектор, соединяющий начало первого с концом последнего и представляет собой искомую сумму.
С помощью рисунков легко убедиться в справедливости следующих свойств:
1.
сложение коммутативно;
2.
ассоциативно.
3. Вычитание векторов.
Определение 9.
Вектор, коллинеарный данному вектору
,
равный ему по модулю и противоположно
направленный, называется противоположным
вектором и обозначается
О
пределение
10. Разностью
векторов
и
называется сумма векторов
и
т.е.
Построение вектора
основано на построении суммы
векторов
Замечание 1. Из определений 6 и 8 геометрически весьма просто показать следующие свойства:
1.
2.
