Декартова система координат
Зададим в пространстве
три единичных
взаимно перпендикулярных
вектора:
Приведём их к общему началу – точке О.
Рассмотрим систему координат, направление
осей Ох,
Оу,
Оz
которой z
заданы этими векторами
Такая система координат называется декартовой системой координат.
Векторы
называются базисом, а каждый из этих
векторов – ортом.
П
окажем,
что если задан базис
,
то лю- z
бой вектор пространства можно единственным об-
разом разложить по нему, т.е. представить в виде
(1)
M
Приведём
вектор
к началу системы ко-
ординат – точке О.
Из конца вектора
точ-
B
y
ки
М
опустим перпендикуляр MN
на плос-
O
кость
Оху.
Проведём из точки N
прямые,
N
параллельные осям координат. Построим x
векторы
Из построения получаем
(2)
А так как
то выражение (2)
примет следующий вид
(3)
В силу коллинеарности
векторов
и
и
и
существуют такие числа
,
для которых выполняется
(4)
Тогда формула (3) с учетом (4) принимает вид (1), что и требовалось доказать. Единственность разложения легко доказать от противного.
Сокращенно формула
(1) записывается в виде
Определение 11.
Числа
называются координатами вектора
или его компонентами.
Используя соотношение (1), легко доказать следующие теоремы:
Теорема 1.
Если
и
,
то их сумма
Теорема 2.
Если
и
любое число, то произведение вектора
на это число
С
ледствие.
Если векторы
и
коллинеарны, то
и тогда условие коллинеарности
векторов имеет вид
6)
z
М
Определение 12.
Радиус-вектором точки М
называется
вектор
x
O
y
Определение 13. Координаты радиус–вектора точки М называются
координатами
точки М
и при этом пишут
Замечание 2.
Аналогично определяется система
координат на плоскости Оху.
Здесь образуют базис векторы
и
,
а оси
Ох
и Оу.
Тогда получим
.
Замечание 3.
Из доказательства формулы (1) следует,
что геометрически координаты вектора
–
суть его проекции на соответствующие
координатные оси.
Замечание 4.
Аналогично можно показать, что базис в
пространстве образуют любые три
некомпланарных вектора:
т.е. любой вектор
можно представить в виде
Пример 3.
Найти координаты вектора
в базисе векторов:
заданных
в декартовой системе координат.
Требуется найти
координаты
из векторного равенства
Перейдём к координатной форме
или,
подставляя координаты векторов
и
Полученную систему решим методом Гаусса. Переставим первое уравнение со вторым. Затем первое уравнение умножим на 2 и сложим со вторым, первое умножим на 3 и сложим с третьим, получим
Из третьего уравнения вычтем второе, получим
Отсюда последовательно
находим координаты вектора
в базисе векторов
:
Таким образом,
окончательно имеем
