Лекция № 6.

1.4. Способы задания векторов

Вектор может быть задан следующими способами:

1. Координатами вектора

2 . Координатами начальной z

и конечной точек.

3. Модулем вектора и углами , M

которые он образует с координатными осями.

При этом значения

называются направляющими косинусами. O y

Между этими способами задания a_z

векторов существует определённая связь. a_x

Например, переход от (2) к (1) x a_y

осуществляется следующим образом:

так как , то z A

.

Переход от (3) к (1) и наоборот

осуществляется по формулам: B

x O y

1.5. Деление отрезка в заданном отношении

Рассмотрим отрезок АВ, где точки и заданы. Требуется найти точку такую, что отношение

z А

Построим векторы: М

Из условия коллинеарности векторов

и имеем В

Полученное равенство представим в

координатной форме х О у

или окончательно

(1)

Замечание 1. Из формул (1) следует частный случай деления отрезка пополам

П ример 1. Треугольник задан координатами своих вершин Найти его центр тяжести. z В

Известно, что центр тяжести треугольника

лежит на пересечении его медиан и, если

точка К  середина стороны ВС, то по А М К

свойству медиан у

Определим вначале координаты х С

точки К:

далее по формулам (1) получим координаты точки М:

Тема 2: Скалярное произведение

2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними и обозначается

(2)

Замечание 2. Формулу (2) можно представить в другой форме

(3)

откуда получим

Рассмотрим механический смысл скалярного произведения. Если  постоянная сила, а  вектор перемещения, то  работа силы на перемещении

Из определения скалярного произведения следуют его свойства:

1.  скалярное произведение коммутативно.

2. , если векторы и перпендикулярны (ортогональны), или хотя бы один из них является нулевым вектором.

3.

Если воспользоваться замечанием 1 из лекции 5 и формулами (3), то легко доказать следующее свойство:

4.

Таким образом, операции со скалярным произведением аналогичны операциям с многочленами.