4. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей

Угол между плоскостями и - это угол между их нормальными векторами и . Поэтому он может быть вычислен с помощью скалярного произведения векторов по формуле

(5).

Очевидно, если две плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарные. Отсюда вытекает условие параллельности плоскостей (6).

Аналогично, условие перпендикулярности плоскостей - это равенство нулю скалярного произведения их нормальных векторов, т.е. (7).

4. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости определяется как проекция вектора , где точка - произвольная точка

этой плоскости, на направление нормального вектора , и поэтому вычисляется по формуле

(8)

Приведем примеры решения задач, использующих приведенные формулы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Пример 3.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярно плоскости .

Решение. Обозначим искомую плоскость и данную плоскость .

Первый способ. Нормальный вектор плоскости вектор и вектор параллельны плоскости ( см. рис.). Перпендикулярный им вектор дает их векторное произведение. Этот вектор - нормальный вектор искомой плоскости

.

В уравнении (2) плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору в качестве точки можно взять любую из точек или . Возьмем . Тогда уравнение искомой плоскости согласно формуле (2) имеет вид

или .

Замечание. Из ответа видно, что искомая плоскость параллельна оси (т.к. в ее уравнении коэффициент ).

Второй способ. Возьмем произвольную точку на плоскости . Тогда векторы компланарные. Условие компланарности векторов – их смешанное произведение равно 0: . Раскрыв этот определитель, получаем уравнение искомой плоскости

. Откуда .

Пример 3.2. Убедиться, что плоскости и параллельны, найти расстояние между ними.

Нормальные векторы этих плоскостей и коллинеарные, так как их координаты пропорциональны . Значит плоскости параллельные (см. формулу 6).

Выберем произвольную фиксированную точку на первой плоскости. Две ее координаты будем считать нулевыми и , а третью найдем из уравнения плоскости, подставив в него значения первых двух: . Откуда . Расстояние между параллельными плоскостями – это расстояние от точки до второй плоскости, определяемое по формуле ( 8 ):

4. Уравнение прямой в пространственной системе координат

Литература: [ 3Д], гл. II § 2 , п. 3,6, §32 , п. 1

[ 4Д ], гл. I2 §§ 66-68 .

Прямая в пространственной системе координат рассматривается как пересечение двух плоскостей и поэтому может быть задана системой уравнений этих плоскостей :

(9) .

Система уравнений (1) называется общим уравнением прямой в пространстве.

Другие виды уравнения прямой:

а) параметрические уравнения (когда координаты точек прямой задаются как функции

одной и той же переменной, называемой параметром точки) (10) .

Здесь координаты фиксированной точки , через которую проходит прямая, координаты направляющего вектора (любого вектора, параллельного прямой), переменная, называемая параметром точки;

в) каноническое уравнение прямой (11) . Это символическое уравнение, получаемое из параметрического исключением параметра .

Если прямая проходит через две заданные точки и , то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор . И тогда согласно формуле (11) уравнение прямой , проходящей через две заданные точки, имеет вид (12) .

Пример 3.3. Составить каноническое и параметрические уравнения прямой, заданной общим уравнением .

Решение. Из общего уравнения прямой следует, что нормальные векторы плоскостей, пересечением которых получается эта прямая, имеют координаты и . Для составления уравнений (10) и (11) нужно иметь координаты любой фиксированной точки прямой и координаты направляющего вектора этой прямой. В качестве точки прямой возьмем точку -точку ее пересечения с какой-либо координатной плоскостью, например с плоскостью . Аппликата этой точки равна нулю ( . Подставив это значение в общее уравнение прямой, получаем систему для определения других координат точки . Решая эту систему, находим . Значит .

Направляющий вектор можно найти как результат векторного произведения нормальных векторов и плоскостей, уравнения которых входят в общее уравнение прямой

. Согласно формуле (11) каноническое уравнение прямой имеет вид . Ноль в знаменателе второй дроби свидетельствует о том, что прямая перпендикулярна оси .

Для получения параметрических уравнений прямой приравняем каждую из этих дробей параметру . Получим . Откуда .

Пример 3.4. Найти точку, симметричную точке , относительно прямой, проходящей через точки и .

Решение. Через точку проведем плоскость перпендикулярную прямой (см. рис). Точка - точка их пересечения. Точка - искомая точка. Ввиду симметрии .

Каноническое уравнение прямой согласно формуле (4)

. Откуда .

Перейдем к параметрическому уравнению этой прямой: .

Уравнение плоскости с нормальным вектором и проходящей через точку согласно формуле (2) имеет вид или после раскрытия скобок .

Координаты точки пересечения плоскости с прямой ( т.е. точки ) находим

решением системы из уравнений прямой и плоскости: . Отсюда или 14 . Следовательно, для точки значение параметра . Тогда из параметрического уравнения получаем координаты точки :

Точка - срединная для отрезка . Поэтому . Из этих формул определяем координаты искомой точки :

Ответ:

Пример 3.5. Лежат ли прямые и в одной плоскости. Если да, то составить уравнение этой плоскости.

Решение. Исходя из геометрического смысла величин, входящих в каноническое и параметрического уравнений прямой заключаем, что первая прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор .

Вторая прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор .Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости, если векторы компланарные, т.е. если их смешанное произведение равно нулю: . Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки одинаковы. Значит, прямые лежат в одной плоскости. Для составления уравнения этой плоскости находим ее нормальный вектор как векторное произведение .

Уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору

или .