3.4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

(1)

Введем следующие матрицы

Тогда, используя правило умножения матриц, систему (1) можно пред-ставить в следующем виде (матричная форма системы уравнений (1))

(2)

Пусть тогда для матрицы А существует обратная

Умножая обе части равенства (2) слева на , получим

(3)

В силу равенств и формула (3) принимает вид

(4)

Не трудно убедиться в том, что выражение (4), полученное для Х, действительно является решением уравнения (1). Подставляя это выражение в уравнение (2), имеем

Замечание 5. Решение, полученное по формуле (4), то же самое, что было получено по формулам Крамера. Этот факт, вытекающий из единственности решения системы (1), можно непосредственно проверить, если подставить в формулу (4) выражение для обратной матрицы.

Пример 5. Матричным методом решить систему уравнений

Здесь

Тогда

следовательно, обратная матрица существует.

Вычисляем алгебраические дополнения

Таким образом, получим окончательное решение

.

Лекция № 4. Тема 4 : Общий случай решения систем линейных алгебраических уравнений

4.1. Ранг матрицы

Определение 1. Минором порядка k называется определитель, состо-ящий из элементов матрицы, которые находятся на пересечении k разных строк и k разных столбцов.

Определение 2. Если в матрице все миноры порядка k > r равны нулю, а среди миноров порядка r существует, по крайней мере, один отличный от нуля, то число r называется рангом матрицы и обо-значается или .

Определение 3. Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой при помощи следующих преобразований:

1. Перестановка местами двух строк или столбцов матрицы;

2. Умножение всех элементов любой строки или столбца матрицы на одно и то же число, отличное от нуля;

3. Добавление ко всем элементам любой строки или столбца матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Эквивалентность матриц обозначается А В.

Из свойств определителей следует

Теорема 1. Все эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг. Пользуясь понятием эквивалентности матриц из данной матрицы раз- мерности получают ступенчатую матрицу, т.е. матрицу вида

в которой определитель (минор r порядка)

.

а все остальные миноры порядка больше r равны нулю, так как содержат строки, состоящие из нулей.

Пример 1. Определить ранг матрицы А = .

1 шаг: Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки;

2 шаг: Прибавим ко 2-ой строке 1-ю строку, умноженную на 2;

к 3-ей строке 1-ю строку, умноженную на 3;

к 4-ой строке 1-ю строку, умноженную на 5;

3 шаг: Прибавим к 3-ей строке 2-ю строку, умноженную на 1;

к 4-ой строке 2-ю строку, умноженную на 2;

(1 шаг) (2 шаг)

(3 шаг)